Recta tangente

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Recta tangente a un punto
Plano tangente a una esfera.
Diferentes rectas secantes y una tangente a una curva.

Una recta tangente a una curva en un punto de ella, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, \R^1.

Definición[editar]

Sea \scriptstyle \mathcal{C} una curva, y \scriptstyle A un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en \scriptstyle A la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a \scriptstyle \mathcal{C} en \scriptstyle A es la recta \scriptstyle T_A que pasa por \scriptstyle A y que tiene la misma dirección que \scriptstyle \mathcal{C} alrededor de \scriptstyle A.

La tangente es la posición límite de la recta secante (\scriptstyle \overline{AM}) (el segmento \scriptstyle \overline{AM} se llama cuerda de la curva), cuando \scriptstyle M es un punto de \scriptstyle \mathcal{C} que se aproxima indefinidamente al punto \scriptstyle A (\scriptstyle M se desplaza sucesivamente por \scriptstyle M_1, M_2, M_3, \dots

Si \scriptstyle \mathcal{C} es punto de una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta \scriptstyle \overline{AM} tendrá como coeficiente director (o pendiente):

\frac {f(x) - f(a)} {x - a}

Donde \scriptstyle (a,f(a)) son las coordenadas del punto \scriptstyle A y \scriptstyle (x,f(x)) las del punto \scriptstyle M. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

\lim_{x \to a} \frac {f(x) -  f(a)} {x - a}

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es \scriptstyle T_A:

y = f'(a)\cdot(x-a) + f(a)

La recta ortogonal a la tangente \scriptstyle \overline{AM} que pasa por el punto \scriptstyle (a,f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por  \frac {-1} {f'(a)}. Siendo su ecuación:

y = -\frac{x-a}{f'(a)} + f(a)

suponiendo claro está que \scriptstyle f'(a) \ne 0. Si \scriptstyle f'(a) = 0 entonces la recta normal es simplemente \scriptstyle x = a.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]