N-esfera

La hiperesfera en el espacio euclídeo de dimensión 2, es la 2-esfera.

En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo $\mathbb R^{n+1} \$, notada en general $\mathbb S^n \$. Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Definición

Sea E un espacio euclídeo de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo. Se llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n-tupla de puntos (x₁,x₁,x₂,…,x_n+1) que definen una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

$x_1^2+x_2^2+...+x_{n+1}^2=R^2~.$

Ejemplos:

• Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.
• Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.
• Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

Propiedades

Volumen

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n, vale:

$V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,$

donde $\Gamma$ es la función gamma.

N-bola

Véase también: Bola (matemática)

El espacio encerrado por una n-esfera es una n-bola. Una n-bola es cerrada si incluye la n-esfera y abierta en caso contrario.

Ejemplos:

• La 1-bola es un segmento de recta, el interior de una 0-esfera.
• La 2-bola es un disco, el interior de un círculo (1-esfera).
• La 3-bola es la bola ordinaria, el interior de una esfera (2-esfera).

Véase también

• 3-esfera
• Bola (matemática)
• Disco

Referencias

• Hypersphere en Planetmath.
• Weisstein, Eric W. «Hypersphere» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.