Espacio proyectivo complejo

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En matemáticas, llamamos espacio proyectivo complejo al espacio de las líneas complejas de Cn+1 que pasan por el origen. Normalmente se nota por P(Cn+1), Pn(C) o CPn

Constituye una variedad compleja compacta de dimensión compleja n definida identificando los puntos proporcionales de Cn+1-{0} mediante la siguiente relación de equivalencia:

z \sim w \Leftrightarrow z=\lambda w \qquad \lambda \in \mathbb{C}-\{0\} \qquad z,w \in \mathbb{C}^{n+1}-\{0\}

Topología[editar]

Sea \pi:\mathbb{C}^{n+1}-\{0\} \rightarrow \mathbb{C}P^n la proyección que lleva cada z en su clase de equivalencia. Dotamos a CPn de la topología cociente, de modo que U \subset \mathbb{C}P^nes abierto si y sólo si \pi^{-1}(U) lo es. Esta topología convierte a la proyección en una aplicación continua.

CPn es compacto y conexo

Para ello basta observar que es imagen por una aplicación continua de la esfera real S2n+1. En concreto por la composición de aplicaciones \pi \circ i dada por

S^{2n+1} \longrightarrow \mathbb{C}^{n+1}-\{0\} \longrightarrow \mathbb{C}P^n,

Esta aplicación es sobreyectiva pues toda línea pasa por un punto de S2n+1.

Estructura compleja[editar]

Podemos construir un atlas mediante las cartas (U_i, \Phi_i) definidas por:

U_i=\{[z]:z \in \mathbb{C}^{n+1}-\{0\}, z_i \neq 0\} \qquad \Phi_i([z])=(\frac {z_0}{z_i},\cdots,\hat\frac {z_i}{z_i},\cdots,\frac {z_n}{z_i})

donde por ^ debemos entender que no aparece la entrada correspondiente.

Si z \in U_i \cap U_j , se comprueba que el cambio de cartas (\Phi_j \circ \Phi_i^{-1}) es holomorfo.

Subespacios lineales de CPn[editar]

Toda inclusión del tipo Ck+1Cn+1 induce una inclusión entre los proyectivos correspondientes CPkCPn. A la imagen de esta aplicación se le denomina subespacio lineal de CPn.

Si k = n-1, a la imagen de esta aplicación se le denomina hiperplano de CPn. Si k = 1, de su imagen se dice que es una línea del mismo.

Referencias[editar]

  • P. Griffiths y J. Harris. Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons, 1978. ISBN 0-471-32792-1 . (Cap. 2)

Véase también[editar]