Grupo circular

El grupo circular o U(1) es el conjunto de puntos en la circunferencia unidad $S^1$ del plano euclídeo. Desde el punto de vista algebraico, $S^1$, es un grupo matemático donde la operación binaria es inducida por la multiplicación de los números complejos es decir, si $z=e^{i\alpha}, w=e^{i\beta}\,$ entonces $zw=e^{i(\alpha+\beta)}\,$.

Propiedades

Es un hecho básico que este grupo puede ser representado linealmente mediante matrices ortogonales:

$\begin{bmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{bmatrix}$

con estos objetos el conjunto recibe el símbolo $\mathrm{U}(1)\,$ también conocido como grupo especial unitario, matrices sobre los complejos de determinante igual a 1 y cuya matriz inversa (inverso multiplicativo) es su transpuesta. Esto es por ser matrices de $1\times 1$ de entrada compleja

$e^{i\theta}\cong \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

aquí el sentido de la equivalencia es de isomorfismo de grupos continuos. El símbolo $\mathrm{SO}(2)\,$ representa el conjunto de estas matrices de $2 \times 2$ cuyo determinante es igual a uno ($\mathrm{SO}(2):=\{A \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}): \det(A)=1\}$). El conjunto $\mathrm{SO}(2)\,$ también es isomorfo a $\mathrm{U}(1)\,$.

Referencias

• Joshi, K.D. (1989), Foundations Of Discrete Mathematics pp. 347-348 ISBN 812240120 [1]