Difeomorfismo

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La imagen de una retícula ortogonal definida sobre un cuadrado, obtenida a partir de un difeomorfismo de cuadrado en él mismo que conserva invariante el contorno.

En matemáticas, un difeomorfismo es un isomorfismo en la categoría de las variedades diferenciables (es decir, un difeomorfismo es un homeomorfismo diferenciable con inversa diferenciable). Como tal un difeomorfismo es una aplicación que posee aplicación inversa, siendo ambas aplicaciones diferenciables.

Definición[editar]

Dadas dos variedades \mathcal{M} y \mathcal{N}, una aplicación diferenciable f:\mathcal{M} \to \mathcal{N} es un difeomorfismo si es una aplicación biyectiva y su inversa f^{-1}:\mathcal{N} \to \mathcal{M} también es diferenciable. Si estas funciones son r veces diferenciables con continuidad, entonces f es un Cr-difeomorfismo o difeomorfismo de clase Cr.

Dos variedades \mathcal{M} y \mathcal{N} son difeomorfas (\mathcal{M} \approx \mathcal{N}) si existe un difeomorfismo f entre ellas.

Difeomorfismos de subconjuntos de variedades[editar]

Dado un subconjunto X de una variedad X\subset \mathcal{M} y un subconjunto Y\subset \mathcal{N}, una función f:X \to Y es diferenciable (suave) si para cada p \in X si existe un entorno U\subset \mathcal{M} de y una función diferencialbe (suave) g:U \to Y tal que g_{|U \cap X} = f_{|U \cap X} (nótese que g es una extensión de f). Se dice además que f es un difeomorfismo si es biyectiva, diferenciable y su inversa diferenciable.

Descripción local[editar]

Ejemplo canónico. Si U, V son subconjuntos abiertos conexos de \R^n tales que V es además simplemente conexo, una aplicación diferenciable f : UV es un difeomorfismo, si es una aplicación propia y si la aplicación progrediente o diferencial Dfx : RnRn es biyectiva en todo punto x de U.

Comentario 1. Es esencial que U sea simplemente conexo para que la función f sea globalmente invertible (si únicamente se exige la condición de que la derivada sea biyectiva en cualquier punto). Por ejemplo, considérese la "realificación" de la función compleja z2:

\begin{cases}
f : \mathbf{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbf{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \\
(x,y)\mapsto(x^2-y^2,2xy)
\end{cases}

Entonces f es suprayectiva y satisface

\det Df_x=4(x^2+y^2)\neq0
así Dfx es biyectiva en todos los punntos aunque f no admite inversa, porque no es biyectiva, e.g., f(1,0) = (1,0) = f(−1,0).


Ejemplos[editar]

Puesto que cualquier variedad puede ser parametrizada localmente mediante \R^n, podemos considerar algunas aplicaciones explícitas:

  • Sea
f(x,y) = \left (x^2 + y^3, x^2 - y^3 \right ).
Podemos calcular la matriz jacobiana:
 J_f = \begin{pmatrix} 2x & 3y^2 \\ 2x & -3y^2 \end{pmatrix} .
Esta matriz jacobiana tiene determinante cero si, y sólo si xy = 0. Vemos pues que f es un difeomorfismo sobre cualquier conjunto que no se interseque con los ejes X o Y.
  • Sea
g(x,y) = \left (a_0 + a_{1,0}x + a_{0,1}y + \cdots, \ b_0 + b_{1,0}x + b_{0,1}y + \cdots \right )
donde las a_{i,j} y b_{i,j} son números reales arbitrarios y los términos omitidos son de grado al menos dos en x e y. Calculamos la matriz jacobiana en el punto 0:
 J_g(0,0) = \begin{pmatrix} a_{1,0} & a_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{0,1} \end{pmatrix}.
Vemos que g es un isomorfismo local en 0 si, y sólo si
a_{1,0}b_{0,1} - a_{0,1}b_{1,0} \neq 0,
es decir, los términos lineales en las componentes de g son linealmente independientes, como polinomios.

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]