Esfera de Riemann

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Stereographic projection in 3D.png fig.1: Proyección estereográfica del plano complejo extendido sobre la "esfera de Riemann".
RiemannKugel.jpg fig.2: La "esfera de Riemann" puede ser visualizada como el plano complejo envuelto alrededor de una esfera.

En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito. La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como \hat\mathbb{C} ó \mathbb{C} \cup \{\infty\},[1] (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo \infty\! para representar el infinito.

Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones tales como

1 / 0 = \infty

bien definidas. Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito. Más generalmente, cualquier función meromorfa puede ser pensada como una función continua cuyo codominio es la esfera de Riemann.

En geometría, la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann, y una de las más simples variedades complejas. En geometría proyectiva, la esfera puede ser pensada como la recta proyectiva compleja \mathbb{CP}^1, el espacio proyectivo de todos las rectas complejas en \mathbb{C}^2. Como con cualquier superficie de Riemann compacta, la esfera también puede ser vista como una curva algebraica proyectiva, haciendo de esto un ejemplo fundamental de geometría algebraica. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física.

Véase también[editar]

Notas y referencias[editar]

  1. En la esfera de Riemann el punto del infinito representa el horizonte infinito del plano complejo, es un infinito positivo +\infty\! tal que permite a la proyección del plano complejo "cerrarse" sobre dicha esfera.