Coordenadas esféricas

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Spherical coordinate elements.svg

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90° a 90° (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0° a 360° (0 a 2π en radianes) o de -180° a +180° (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas[editar]

Convención estadounidense[editar]

Actualmente, el convenio usado en los EEUU es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa θ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa φ.

Convención no estadounidense[editar]

Coordenadas esféricas figura.svg

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

  • θ la colatitud, de 0° a 180°
  • φ el azimutal, de 0° a 360°

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

 0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq \pi\qquad 0\leq \varphi< 2\pi

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas[editar]

Relación con las coordenadas cartesianas[editar]

Sobre los conjuntos abiertos:

U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}

Existe una correspondencia unívoca F:V\to Uentre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:

 r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad
\theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\  \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\mbox{ y } y>0 \mbox{ (1° Q)}\\  2\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)&   x>0 \mbox{ y } y<0 \mbox{ (4° Q)}\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0 \mbox{ (2° y 3° Q)}\end{cases}

Estas relaciones se hacen singulares cuando tratan de extenderse al propio eje z\,, donde x^2 + y^2 = 0, en el cual φ, no está definida. Además, φ no es continua en ningún punto (x,\ y,\ z) tal que x = 0\;.

La función inversa F^{-1} entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:

 x = r\,\sen \theta\,\cos\varphi \qquad y = r\,\sen\,\theta\,\sen\,\varphi\qquad z = r \,\cos\theta

Coordenadas esféricas y ejes cartesianos relacionados.

Relación con las coordenadas cilíndricas[editar]

Como sistema intermedio entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, está el de las coordenadas cilíndricas, que se relaciona con el de las esféricas por las relaciones


r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta=\arctan\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi=\varphi

y sus inversas


\rho = r\,{\rm sen}\,\theta \qquad \varphi = \varphi\qquad z = 
r \,\cos\theta

Líneas y superficies coordenadas[editar]

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

  • Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.
  • Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos)
  • Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).
Lineas coordenadas esfericas.png

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijando sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

  • Superficies r=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.
  • Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen.
  • Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada[editar]

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones


\hat{r}  = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} +
\cos\theta \hat{z}

\hat{\theta}  = \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{x} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{y} -
{\rm sen}\theta \hat{z}

\hat{\varphi}  = -{\rm sen}\varphi\,\hat{x} + \cos\,\varphi\,\hat{y}

e inversamente


\hat{x}  = {\rm sen}\theta\,\cos\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,\cos\varphi\,\hat{\theta} - {\rm sen}\,\varphi\,\hat{\varphi}

\hat{y}  = {\rm sen}\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{r} + \cos\theta\,{\rm sen}\,\varphi\,\hat{\theta}+\cos\,\varphi\, \hat{\varphi}

\hat{z}  = \cos\theta\,\hat{r}-
{\rm sen}\theta\,\hat{\theta}

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala


h_r = 1 \qquad h_\theta = r \qquad h_\varphi = r\,{\rm sen}\theta

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es


\vec r = r\,\hat{r}

Nótese que no aparecen término en \hat{\varphi} o \hat{\theta}. La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector \hat{r}.

Diferenciales de línea, superficie y volumen[editar]

Diferencial de línea[editar]

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esféricas, viene dado por


d\vec r = h_r\,dr\,\hat{r}+h_\theta\,d\theta\,\hat{\theta} +h_\varphi\,d\varphi\,\hat{\varphi}
=dr\,\hat{r}+r\,d\theta\,\hat{\theta}+r\,{\rm sen}\,\theta\,d\varphi\,\hat{\varphi}

Diferenciales de superficie[editar]

La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q_3={\rm cte.} el resultado es


d\vec S_{q_3={\rm cte}} = h_1\,h_2\,dq_1\,dq_2\,\hat{q}_3

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas esféricas, los diferenciales de superficie son

  • r=cte: d\vec S_{r={\rm cte}} = r^2\,{\rm sen}\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat{r}
  • θ=cte: d\vec S_{\theta={\rm cte}} = r\,{\rm sen}\theta\,dr\,d\varphi\,\hat{\theta}
  • φ=cte: d\vec S_{\varphi={\rm cte}} = r\,dr\,d\theta\,\hat{\varphi}

Diferencial de volumen[editar]

El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que


dV = h_1\,h_2\,h_3\,dq_1\,dq_2\,dq_3

que para coordenadas esféricas da


dV = r^2\,{\rm sen}\,\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

Operadores diferenciales en coordenadas esféricas[editar]

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esféricas. Estas son:

  • Gradiente

\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{e}_r
+\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{e}_\theta +
\frac{1}{r\,{\rm sen}\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{e}_\varphi
  • Divergencia

\nabla\cdot\vec F = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r}
+ \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial({\rm sen}\,\theta\,F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial(F_\varphi)}{\partial \varphi}
  • Rotacional

\nabla\times \vec F=\frac{1}{r^2{\rm sen}\,\theta}\left|
\begin{matrix}
\hat{r} & r\,\hat{\theta} & r\,{\rm sen}\,\theta\,\hat{\varphi}  \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \varphi}
\\ & & \\
F_r & rF_\theta & r{\rm sen}\,\theta\,F_\varphi
\end{matrix}\right|
  • Laplaciano

\nabla^2\phi = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)
+ \frac{1}{r^2\,{\rm sen}\,\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}
\left({\rm sen}\,\theta\frac{\partial\phi}{\partial \theta}\right)
 + \frac{1}{r^2{\rm sen}^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial \varphi^2}

Véase también[editar]