Relación de equivalencia

Sea $K$ un conjunto dado no vacío y $R$ una relación binaria definida sobre $K$. Se dice que $R$ es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:

• Reflexividad: Todo elemento de $K$ está relacionado consigo mismo. Es decir,

$\forall x\in K, \; xRx$.

• Simetría: Si un elemento de $K$ está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relaciona con el primero. Es decir,

$\forall x,y\in K, \; xRy \; \Rightarrow \; yRx$

• Transitividad: Si un elemento de $K$ está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir,

$\forall x,y,z\in K, \; xRy , yRz \; \Rightarrow \; xRz$

• Notación Si se cumple una relación de equivalencia entre dos elemento x, y se denota x = y (mod R) que se lee « x equivalente a y módulo R.»

Una relación de equivalencia $R$ sobre un conjunto $K$ puede denotarse con el par ordenado $(K,\sim)\,$.

Clases de equivalencia

La relación de equivalencia $\sim$ define subconjuntos disjuntos en $K$ llamados clases de equivalencia de la siguiente manera: Dado un elemento $a\in K$, al conjunto dado por todos los elementos relacionados con $a$

$[a] = \{b\in K\,|\,b\sim a\}$

se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento $a$. Al elemento $a$ se le llama representante de la clase.

Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito.

El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia en base a algún criterio, las clases resultantes son los "tipos" en los que se puede clasificar toda la gama de objetos.

Conjunto cociente

El conjunto de todas las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente y se lo suele denotar como:

$K/\sim\, \qquad \qquad K/\sim = \{[a]\in \mathcal{P}(K)|\ ([a]\cap[b]\ne 0) \iff \left( \exists a\in [a] \land \iff \exists b\in [b]: a\sim b \right) \}$

Tal como muestra la definición anterior el conjunto cociente es un subconjunto del conjunto de partes de K.

Partición

Proposición.- Una relación de equivalencia en un conjunto K no vacío determina una partición del conjunto, y toda partición determina una relación de equivalencia sobre K. La partición tiene como elementos las clases de equivalencias. Estas son disjuntas dos a dos y la unión de ellas es igual al conjunto K.

1. para cualquiera dos $a_i,a_j$ no relacionados tenemos: $[a_i]\cap[a_j]=\emptyset$;
2. la unión de todos integra al total: $\bigcup_s[a_s]=K$

Lo reciproco también es cierto: Dada una partición de un conjunto existe una relación de equivalencia en él de tal manera que las clases de equivalencia coinciden con los componentes de la partición

El conjunto cociente se representa: K/R.

Las clases de equivalencia son, por una parte, subconjuntos de E; y, por otra parte, elementos del conjunto K/R.

• Sea N= {0,1,2, 3...}. Se define una relación de equivalencia en NxN , como sigue : (a;b)~ (c;d) s.s.s. a+d = b +c. Esta es una relación de equivalencia en NxN y cada clase de equivalencia es un número entero . [(2;0)]= { (x;y)/ 2+y = 0 + x } a (2;0) se llama representante canónico y se denota, simplificadamente, 2.

Ejemplos

• La igualdad entre los elementos de un conjunto.

• La relación de congruencia módulo M en el conjunto de los números enteros (i.e. $M\in\mathbb{Z}$), donde se define: $a \sim b$ si y sólo si $a - b\,$ es múltiplo de M.

Esta relación es de equivalencia porque:

• Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M.
• Es simétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M.
• Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b - c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares.

• Sea H un subgrupo de un grupo G. Definiendo para elementos del grupo $a \sim b$ si y sólo si $ab^{-1}\in H$, tendremos la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H .

• Definiendo, para elementos del grupo, $a \sim b$ si y sólo si existe g en G talque $gag^{-1}=b$, se llama relación de conjugación. Sus clases: clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación.

Véase también

• Teoría del orden