Congruencia (teoría de números)

Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros $a\,$ y $b\,$ tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural $m\,$, llamado el módulo; esto se expresa utilizando la notación

$a \equiv b \pmod m$

que se expresa diciendo que $a\,$ es congruente con $b\,$ módulo $m\,$. Las siguientes expresiones son equivalentes:

• $a\,$ Es congruente con $b\,$ módulo $m\,$

$a\equiv b\pmod m$

• El resto de $a\,$ entre $m\,$ es el resto de $b\,$ entre $m\,$

$a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m$

• $m\,$ divide exactamente a la diferencia de $a\,$ y $b\,$

$m\mid a-b$

• $a\,$ se puede escribir como la suma de $b\,$ y un múltiplo de $m\,$

$\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km$

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo $p\,$ y cada entero $a\,$ no divisible por $p\,$ tenemos la congruencia:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.$

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia $x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}$, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por $x \equiv 4\pmod{11}$ y $x\equiv 7 \pmod{11}$, es decir $x\,$ puede ser cualquier entero de las sucesiones $11k+4\,$ y $11k+7\,$. Contrariamente la congruencia $x^2-2 \equiv 0 \pmod{11}$, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad, por citar alguna:

• La congruencia para un módulo fijo m es una relación de equivalencia ya que se verifican las propiedades:

1. reflexividad: $a \equiv a \pmod m$
2. simetría: si $a \equiv b \pmod m$ entonces también $b \equiv a \pmod m$
3. transitividad: si $a \equiv b \pmod m$ y $b \equiv c \pmod m$ entonces también $a \equiv c \pmod m$.

• Si $a\,$ es coprimo con $m\,$ y $a \equiv b \pmod m$, entonces $b\,$ también es coprimo con $m\,$.

• Si $a \equiv b \pmod m$ y $k\,$ es un entero entonces también se cumple
  • $a+k \equiv b+k \pmod m$
  • $ka \equiv kb \pmod m$
  • $a^{k} \equiv b^{k} \pmod m\qquad k>0$

• Si además $k\,$ es coprimo con $m\,$, entonces podemos encontrar un entero $h^{-1}\,$, tal que

$kh^{-1} \equiv 1 \pmod m$

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

$\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} \pmod m$

donde por definición ponemos $a/k = ak^{-1}\,$.

• Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:

$a\equiv b \pmod m$ y $c \equiv d \pmod m$

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

$a+c \equiv b + d \pmod m$ y $ac \equiv bd \pmod m$

Véase también

• Aritmética modular
• Resolución de congruencias
• Clase de equivalencia

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Congruence» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Congruencias. Lecciones de Algebra. Jaime Gutierrez Gutierrez y Carlos Ruiz de Velasco y Bellas