Congruencia (teoría de números)

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Congruencia es un término, usado en la teoría de números, para designar una relación entre dos números enteros a\,\textstyle\text{y}\displaystyle\,b que tienen el mismo resto mediante una división euclidiana[1] por un número natural m\, \ne\, 0, llamado el módulo; esto se denota con la notación

 a \equiv b \pmod m

que se lee: " a\, es congruente con b\, módulo m\,".[2] Las siguientes expresiones son equivalentes:

  • a\, es congruente con b\, módulo m\,
a\equiv b\pmod m
  • El resto de a\, entre m\, es el mismo resto de b\, entre m\,
a\; \bmod \; m = b \; \bmod \; m
m\mid a-b
  • a\, se puede escribir como la suma de b\, y un múltiplo de m\,
\exists k\in \mathbb{Z}\quad a=b+km

El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo p\, y cada entero a\, no divisible por p\, tenemos la congruencia:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.

Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia x^2 - 5 \equiv 0 \pmod{11}, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por x \equiv 4\pmod{11} y x\equiv 7 \pmod{11}, es decir x\, puede ser cualquier entero de las sucesiones 11k+4\, y 11k+7\,. Contrariamente la congruencia x^2-2 \equiv 0  \pmod{11}, no tiene solución.

La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.

Propiedades[editar]

La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:

  1. reflexividad:  a \equiv a \pmod m
  2. simetría: si  a \equiv b \pmod m entonces también  b \equiv a \pmod m
  3. transitividad: si  a \equiv b \pmod m y  b \equiv c \pmod m entonces también  a \equiv c \pmod m.
  • Como la congruencia es una relación de equivalencia determina en Z una partición que tiene tantas clases de equivalencia como unidades tiene el módulo m. Los elementos x = mk +r están en la clase de resto r; 0 ≤ r < m. Los múltiplos de m forman la clase de equivalencia de representante 0[3]
  • Si a\, es coprimo con m\, y  a \equiv b \pmod m, entonces b\, también es coprimo con m\,.
  • Si a \equiv b \pmod m y k\, es un entero entonces también se cumple
    • a+k \equiv b+k \pmod m
    • ka \equiv kb \pmod m
    • a^{k} \equiv b^{k} \pmod m\qquad  k>0
  • Si además k\, es coprimo con m\,, entonces podemos encontrar un entero h^{-1}\,, tal que
kh^{-1} \equiv 1 \pmod m

y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que

\frac{a}{k} \equiv \frac{b}{k} \pmod m

donde por definición ponemos  a/k = ak^{-1}\,.

  • Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
 a\equiv b \pmod m y  c \equiv d \pmod m

podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias

 a+c \equiv b + d \pmod m y  ac \equiv bd \pmod m
  • Si ar ≡ br (mod m) y d = (m,r) entonces a ≡ b (mod m/d)[4]

Propiedad sintetizadora[editar]

La posibilidad de sumar a ambos miembros de una congruencia el mismo número, multiplicarlos por el mismo número no nulo y elevar a la misma potencia entera positiva los enteros congruentes, puede fusionarse a través de la proposición siguiente:

Si P(t)es un polinomio en t con coeficientes enteros, implica que de a ≡ b (mod m) se deduce que P(a) ≡ P(b)(mos m).[5]

Referencias[editar]

  1. Jones: Teoría de los números, Editorial Trillas, México D.F.
  2. Una redacción concisa y más gráfica
  3. Birhhoff- Mc Lane: Álgebra moderna
  4. Jones: ibídem
  5. Jones: Ibid

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]