Topología cociente

Ilustración de un espacio cociente, S², obtenida por pegado del contorno (en azul) del disco D² a un solo punto.

En matemáticas, la topología cociente consiste intuitivamente en crear una topología pegando ciertos puntos sobre otros, en un espacio dado, por medio de una relación de equivalencia bien definida. El nuevo espacio así generado recibe el nombre de espacio cociente. Ejemplos conocidos son el toro matemático o la banda de Möbius.

Definición

Sea $(X, t_x)\$ un espacio topológico y $\mathcal{R}\,$ una relación de equivalencia sobre $X\$. El espacio cociente $Y = X/\;\mathcal{R}\,$ se define como el conjunto de clases de equivalencia de elementos de $X\$.

$Y = \{ [x] : x \in X \} = \{\{v \in X : v\;\mathcal{R}\,x\} : x \in X\}.$

Propiedades

• La función f es continua y esta topología es la mas fina topología que hace esto
• La propiedad universal: La topología cociente es la única topología que cumple que para cualquier espacio topológico (Z, t) y cualquier función g:(Y, $t_f$)->(Z, t) se tiene que g es continua si y sólo si $g \circ f$ es continua

Bibliografía

• Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general" primera edición Universidad de Sonora.
• Weisstein, Eric W. «Espacio cociente» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Quotient space en PlanetMath
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Espacio cociente» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 

Enlaces externos

• López Camino, Rafael. «Capítulo 7. espacios cocientes» (en castellano) (PDF). Consultado el 30 de abril de 2011.