Banda de Möbius

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La banda o cinta de Möbius (/ˈmøbiʊs/) o Moebius (/moˈebius/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Banda de Moebius conformada con una cinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos.

Construcción de una cinta de Möbius[editar]

Para construir una cinta de Möbius, se toma una tira de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.

Propiedades[editar]

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Banda de Möbius.
Plot paramétrico de una banda de Möbius.
  • Es una superficie que sólo posee una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

  • Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

  • Es una superficie no orientable:

Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

  • Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte.

Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a esta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.[1]

Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Esta forma geométrica se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría[editar]

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de \scriptstyle\mathbb{R}^3 es mediante la parametrización:

\begin{cases}
x(u,v)=\left[1+\cfrac{v}{2}\cos\cfrac{u}{2}\right]\cos(u)\\
y(u,v)=\left[1+\cfrac{v}{2}\cos\cfrac{u}{2}\right]\sin(u)\\ 
z(u,v)=\cfrac{v}{2}\sin\cfrac{u}{2} \end{cases}

donde \scriptstyle 0\leq u < 2\pi y \scriptstyle -0.5\leq v\leq 0.5.

Representa una banda de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en \scriptstyle(0,0,0)\,. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

\scriptstyle -\frac{64}{(16v^4 \cos(u/2)^4+128v^3 \cos(u/2)^3+384v^2 \cos(u/2)^2+8v^4 \cos(u/2)^2+512v \cos(u/2)+32v^3 \cos(u/2)+256+32v^2+v^4)}

En coordenadas cilíndricas \scriptstyle(r,\theta,z), se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

\log(r)\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=z\cos\left(\frac{\theta}{2}\right).

Topología[editar]

Para transformar un rectángulo en una banda de Möbius, se unen las aristas denominadas A de manera tal que las flechas apunten en el mismo sentido.

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado \scriptstyle[0,1] \times [0,1] que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación \scriptstyle(x,0)\, \sim\, \scriptstyle (1-x,1)\, para \scriptstyle 0 \le x \le 1, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total \scriptstyle Mo\, de un fibrado no trivial teniendo como base el círculo \scriptstyle S^1 y fibra un intervalo, i.e.

\scriptstyle I\subset Mo\to S^1

El contraste con el fibrado trivial \scriptstyle I\subset S^1\times I\to S^1 es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E

\scriptstyle I\subset E\to S^1

Es decir, \scriptstyle S^1\times I y \scriptstyle Mo\, son todos los I-fibrados sobre la circunferencia.

Objetos relacionados[editar]

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede diferenciar «fuera» de «dentro».

Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en \mathbb{R}^3, la botella no.

La banda de Möbius en el arte[editar]

Pintura mural.

Johann Sebastian Bach compuso un canon cuya partitura, al ejecutarse, guarda semejanza con la forma de una banda de Möbius.[2]

El artista M. C. Escher utilizó la banda de Möbius como motivo principal en diversas obras.[3]

El libro de cuentos Queremos tanto a Glenda, del escritor argentino Julio Cortázar, publicado en 1980, cuenta con una composición titulada Anillo de Moebius.[4]

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,[5] [6] realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

Símbolos gráficos, logotipos y emblemas[editar]

El símbolo gráfico internacional de reciclaje y los de otras actividades similares, están basados en la imagen de la banda de Möbius.

Los partidos humanistas afiliados a la Internacional Humanista utilizan como logotipo un símbolo gráfico basado en la banda de Möbius.[7]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Referencias no matemáticas[editar]

Enlaces externos[editar]