N-esfera

La hiperesfera en el espacio euclídeo de dimensión 2, es la 2-esfera.

En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo $\mathbb R^{n+1} \$, notada en general $\mathbb S^n \$. Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Definición

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n-tupla de puntos (x₁,x₁,x₂,…,x_n+1) que están en una n-esfera (Sⁿ) se representa con la ecuación:

$x_1^2+x_2^2+...+x_{n+1}^2=R^2~$,

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0)

Ejemplos:

• Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.
• Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.
• Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

Ecuación de una hiperesfera

Teniendo como datos un punto fijo $Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\,$ llamado centro y el radio R, real positivo, siendo $P=(x_1,x_2,\dots,x_n)\,$ un cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es ,

$\sqrt{(x_1-q_1)^2 + (x_2-q_2)^2 + \cdots + (x_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-q_i)^2} = R.$

O también en forma vectorial, la esfera de radio R y centro w en E es el conjunto de todos los puntos x que cumplen

| x - w | = R

Propiedades

Volumen

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n, vale:

$V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ ,$ (1)

donde $\Gamma$ es la función gamma.

Notar la siguiente particularidad: $V_n$ tiende a cero cuando n tiende a infinito.

El volumen de una hiperfesfera, de radio R, en el espacio cuadridimensional aplicando la formula (1) para n = 4 resulta

V₄ = π²R⁴ /2

y aplicando la fórmula Γ(x + 1) = x Γ ( x )

N-bola

Véase también: Bola (matemática).

El espacio encerrado por una n-esfera es una n-bola. Una n-bola es cerrada si incluye la n-esfera y abierta en caso contrario.

Ejemplos:

• La 1-bola es un segmento de recta, el interior de una 0-esfera.
• La 2-bola es un disco, el interior de un círculo (1-esfera).
• La 3-bola es la bola ordinaria, el interior de una esfera (2-esfera).

Véase también

• 3-esfera
• Bola (matemática)
• Disco

Referencias

• Hypersphere en Planetmath.
• Weisstein, Eric W. «Hypersphere» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.