N-esfera

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
La hiperesfera en el espacio euclídeo de dimensión 2, es la 2-esfera.

En matemática, una n-esfera (o hiperesfera) es la generalización de la «esfera» a un espacio euclídeo de dimensión arbitraria. En otras palabras, la n-esfera es una hipersuperficie del espacio euclídeo \mathbb R^{n+1} \ , notada en general \mathbb S^n \ . Constituye uno de los ejemplos más sencillos de variedad matemática.

Definición[editar]

Dado un espacio euclídeo E de dimensión n+1, A un punto de E, y R un número real estrictamente positivo, se le llama hiperesfera de centro A y radio R al conjunto de puntos M tales que su distancia a A vale exactamente R.

La n+1-tupla de puntos (x1,x2,…,xn+1) que están en una n-esfera (Sn) se representa con la ecuación:

x_1^2+x_2^2+...+x_{n+1}^2=R^2~,

donde el centro es el origen de coordenadas O (0,0,...,0)[1]

Ejemplos:

  • Para n=0, la hiperesfera consta de dos puntos de coordenadas R y -R.
  • Para n=1, la hiperesfera es una circunferencia.
  • Para n=2, la hiperesfera es la esfera usual.

Ecuación de una hiperesfera[editar]

Teniendo como datos un punto fijo Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)\, llamado centro y el radio R, real positivo, siendo P=(x_1,x_2,\dots,x_n)\, un cualquiera de la hiperesfera, la ecuación correspondiente es,[2] [3]

 \sqrt{(x_1-q_1)^2 + (x_2-q_2)^2 + \cdots + (x_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-q_i)^2} = R.

O también en forma vectorial, la esfera de radio R y centro w en E es el conjunto de todos los puntos x que cumplen

\big \| \mathbf{x} - \mathbf{w} \big \| = R

Propiedades[editar]

Volumen[editar]

El volumen del espacio delimitado por una hiperesfera de dimensión n-1 y de radio R, que es una bola euclídea de dimensión n, vale:

V_n={\pi^{n/2}R^n\over\Gamma(n/2+1)}\ \ , (1)

donde \Gamma es la función gamma.

Notar la siguiente particularidad: V_n tiende a cero cuando n tiende a infinito.

El volumen de una hiperfesfera, de radio R, en el espacio cuadridimensional aplicando la formula (1) para n = 4 resulta

V4 = π2R4 /2

y aplicando[4] la fórmula Γ(x + 1) = x Γ ( x )

N-bola[editar]

El espacio encerrado por una (n-1)-esfera es una n-bola. Una n-bola es cerrada si incluye la n-esfera y abierta en caso contrario.

Ejemplos:

  • La 1-bola es un segmento de recta, el interior de una 0-esfera.
  • La 2-bola es un disco, el interior de un círculo (1-esfera).
  • La 3-bola es la bola ordinaria, el interior de una esfera (2-esfera).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Consistencia con la definición de hiperesfera y la fórmula de distancia en En + 1
  2. Desarrollo analítico de la definición
  3. Lang, Serge: Introducción al Análisis Matemático, ISBN 0-201-62907-0, pg. 100
  4. Edwards/Penney: Ecuaciones diferenciales elementales. Con aplicaciones, ISBN 0-13-254129-7, pg. 263