Cuasigrupo

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Un Cuasigrupo es una estructura algebraica similar a un grupo en el sentido de que la "división" es siempre posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos en que no poseen la propiedad asociativa. Un cuasigrupo con elemento neutro se llama bucle.

Definiciones[editar]

Existen dos definiciones formalmente equivalentes de cuasigrupo, con una y tres operaciones binarias primitivas, respectivamente. Comenzamos con la primera definición, que es más fácil de seguir. Un cuasigrupo (Q, *) es un conjunto Q con una operación binaria * (es decir, un magma), de tal manera que para cada a y b en Q, existen únicos elementos x e y en Q tales que:

  • a*x = b;
  • y*a = b.

(En otras palabras: Para los dos elementos a y b, b se encuentra en la fila de a y en la columna de a de la tabla de Cayley de los cuasigrupos. Por lo tanto las tablas de Cayley de los cuasigrupos son simplemente cuadrados latinos.)
Las soluciones únicas de estas ecuaciones se escriben x = a \ b, y = b / a. Siendo '\' y '/' la división izquierda y derecha respectivamente.

Álgebra universal[editar]

En una estructura algebraica, la identidad es una ecuación en la que todas las variables están tácitamente cuantificadas universalmente, y en el que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura. Las estructuras algebraicas que tienen solamente identidad (elemento neutro) se llaman variedades. Muchos resultados estándar del álgebra universal ocupan sólo de las variedades. Los cuasigrupos son las variedades en que la división izquierda y derecha se toman como primitivas.

Un cuasigrupo (Q, *, \, /) es un tipo de álgebra (2,2,2) que satisface las identidades siguientes:

  • y = x * (x \ y);
  • y = x \ (x * y);
  • y = (y / x) * x;
  • y = (y * x) / x.

Por tanto, si (Q, *) es un cuasigrupo de acuerdo con la primera definición, entonces (Q, *, \, /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal.

Según Marshall Hall, Jr. un cuasigrupo es un sistema de elementos Q (a,b.c,...) en él está definida una operación binaria de producto de modo que, en cualquier ab=c cualesquiera dos de a, b, c determina de manera única el tercero como miembro de Q.[1]

Bucle[editar]

Un bucle es un cuasigrupo con un elemento neutro e de de tal manera que:

  • x*e = x = e*x.

De ello se sigue que el elemento neutro e es único, y que cada elemento de Q tiene un único inverso a izquierda y derecha. Hall, Jr. a bucle lo llama lazo.[2]

Ejemplos[editar]

Propiedades[editar]

:En el resto del artículo denotaremos a la multiplicación del cuasigrupo por una simple yustaposición

Los cuasigrupos tienen la propiedad de cancelación: Si ab = ac, entonces b = c. Esto se deduce de la singularidad de la división de la izquierda de ab o ac por a. Del mismo modo, si ba = ca, entonces b = c.

Multiplicación de los operadores[editar]

La definición de un cuasigrupo puede ser tratada como las condiciones de los operadores de la multiplicación, izquierda o derecha L(x), R(y): Q? Q, definido por

L(x)y = xy\, ,
R(x)y = yx\, .

La definición dice que ambas asignaciones son biyecciones de Q en sí mismo. Un magma Q es un cuasigrupo precisamente cuando todos estos operadores, para cada x en Q, son biyectivos. Las asignaciones inversas son la división a izquierda y derecha, es decir:

L(x)^{-1}y = x\backslash y\, ,
R(x)^{-1}y = y/x\, .

En esta notación, las correspondencias entre las operaciones de multiplicación y división de los cuasigropos (ver álgebra universal) son:

\begin{align}
L(x)L(x)^{-1} &= 1\qquad&\text{corresponde a}\qquad x(x\backslash y) &= y,\\
L(x)^{-1}L(x) &= 1\qquad&\text{corresponde a}\qquad x\backslash(xy) &= y,\\
R(x)R(x)^{-1} &= 1\qquad&\text{corresponde a}\qquad (y/x)x &= y,\\
R(x)^{-1}R(x) &= 1\qquad&\text{corresponde a}\qquad (yx)/x &= y,
\end{align}

donde 1 denota la identidad en Q.

Cuadrados latinos[editar]

La tabla de multiplicar de un cuasigrupo finito es un cuadrado latino: una tabla de n × n llenos de n símbolos diferentes de tal manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna.

Recíprocamente: cada cuadrado latino puede ser visto como la tabla de multiplicar de algún cuasigrupo de muchas maneras: la fila superior (que contiene los encabezados de columna) y la columna izquierda (que contiene los encabezados de fila) pueden ser cualquier permutación de los elementos. Ver pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos.

Propiedades inversas[editar]

Cada elemento del bucle tiene un único inverso izquierdo y derecho dado por:

x^{\lambda} = e/x \qquad x^{\lambda}x = e
x^{\rho} = x\backslash e \qquad xx^{\rho} = e

Un bucle se dice que es inverso bilateral si x^{\lambda} = x^{\rho} para todo x. En este caso el elemento inverso se suele designar por x^{-1}.

Hay algunos conceptos más profundos de los inversos de los bucles que a menudo son útiles:

  • Un bucle tiene la propiedad inversa por la izquierda si x^{\lambda}(xy) = y para todo x e y. De manera equivalente, L(x)^{-1} = L(x^{\lambda}) or x\backslash y = x^{\lambda}y.
  • Un bucle tiene la propiedad inversa por la derecha si (yx)x^{\rho} = y para todo x e y. De manera equivalente, R(x)^{-1} = R(x^{\rho}) or y/x = yx^{\rho}.
  • Un bucle tiene la propiedad anti automórfica si (xy)^{\lambda} = y^{\lambda}x^{\lambda}.De manera equivalente, si (xy)^{\rho} = y^{\rho}x^{\rho}.
  • Un bucle tiene la propiedad inversa débil cuando (xy)z = e si y sólo si x(yz) = e. Esto puede ser expresada en términos de inversos a través de (xy)^{\lambda}x = y^{\lambda} o de manera equivalentex(yx)^{\rho} = y^{\rho}.

Un bucle tiene la propiedad inversa si tiene tanto en las propiedades inversa por la izquierda como por la derecha. Si el bucle tiene propiedad inversa también tienen las propiedades inversa anti automórfica y débil. De hecho, cualquier bucle que satisface dos de las cuatro identidades tiene la propiedad inversa y por lo tanto tiene las cuatro.

Cualquier bucle que satisface las propiedades de la inversa izquierda e inversa derecha, o anti automórfica automáticamente es inverso bilateral.

Morfismos[editar]

Un homomorfismo de un cuasigrupo o de un bucle es una función f: Q? P entre dos cuasigrupos tal que f(xy) = f(x)f(y). Los Homomorfismos de los cuasigrupos preservan necesariamente la división por la izquierda y por la derecha, y además, cuando existen, los elementos neutros (en el caso de los bucles).

Homotopía y isotopía[editar]

Sean Q y P cuasigrupos. Una homotopía de un cuasigrupo de Q a P es una terna (?,?,?) de las funciones de Q a P tal que

\alpha(x)\beta(y) = \gamma(xy) \forall  x, y  \in Q

Un homomorfismo de un cuasigrupo es sólo una homotopía en que las tres funciones son iguales.

Una isotopía es una homotopía en la que cada uno de las tres funciones (?,?,?) es una biyección. Dos cuasigrupos son isotópicos si hay una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos, una isotopía (?,?,?) viene dada por una permutación de filas?, una permutación de las columnas?, y una permutación de elementos? del conjunto subyacente.

Un autotopía es una isotopía de un cuasigrupo en sí mismo. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forman un grupo con el grupo de los automorfismos como subgrupo.

Cada cuasigrupo es isotópico de un bucle. Si un bucle es isotópico de un grupo, entonces es isomorfo a ese grupo y por lo tanto es el mismo un grupo. Sin embargo, un cuasigrupo que sea isotópico a un grupo no tiene por qué ser un grupo. Por ejemplo, el cuasigrupo en R con la multiplicación dada por (x + y) / 2 es isotópico para el grupo aditivo (R, +), pero no es en sí un grupo.

Conjugación[editar]

La división por la izquierda y por la derecha son ejemplos de la formación de un cuasigrupo permutando las variables en la ecuación que las define. De la operación original * (es decir, x*y = z) se pueden formar cinco nuevas operaciones: xoy:= y*x (la operación inversa), / y \, y sus opuestos. Esto hace un total de seis operaciones de cuasigrupos, que se llaman los conjugados de *. Esto hace un total de seis operaciones del cuasigrupo, que se llaman "conjugadas" el uno del otro (y de sí mismos).

Paratopía[editar]

Si el conjunto de Q tiene dos operaciones del cuasigrupo, * y ·, y uno de ellos es isotópico a un conjugado de la otra, las operaciones se dice que son paratopicas una de la otra.

Generalizaciones[editar]

Cuasigrupos poliádicos o con aridad multiple[editar]

Un cuasigrupo n-ario es un conjunto con una operación n-aria, (Q, f) con f. Qn? Q, de tal manera que la ecuación f(x1,...,xn) = y tiene una solución única para cualquiera variable, si todas las otras n variables se especifican de manera arbitraria. Poliádica o o con aridad múltiple significa n-aria para cualquier entero n no negativo.

Un cuasigrupo 0-ario, o sin argumentos, es sólo un elemento constante de Q. Un cuasigrupo 1-ario, o unitario, es una biyección de Q en sí mismo. Un cuasigrupo binario, o 2-ario, es un cuasigrupo ordinario.

Un ejemplo de un cuasigrupo con aridad multiple es una operación del grupo iterado, y = x1 · x2 · ··· · xn no es necesario el uso de paréntesis para especificar el orden de las operaciones ya que el grupo es asociativo. También se puede formar un cuasigrupo con aridad múltiple mediante la realización de una secuencia de operaciones del cuasigrupo del mismo o diferente grupo, si se especifica el orden de las operaciones.

Cuasigrupos derecho e izquierdo[editar]

Un cuasigrupo derecho (Q, *, /) es un tipo de álgebra (2,2) que satisface las siguientes igualdades:

  • y = (y / x) * x;
  • y = (y * x) / x.

Un cuasigrupo izquierdo (Q, *, \) es un tipo de álgebra (2,2) que satisface las siguientes igualdades:

  • y = x * (x \ y);
  • y = x \ (x * y).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Teoría de grupos (1979)Hall Jr., Marshall; Editorial Trillas, México 1, D.F. pág.18
  2. Ibídem, pág.18

Biliografía del tema[editar]

  • Akivis, Maks A.; Goldberg, Vladislav V. (2001). «Solution of Belousov's problem» (en Inglés). Discussiones Mathematicae. General Algebra and Applications 21 (1):  pp. 93–103. ISSN 1509-9415. 
  • Richard, Hubert Bruck (1958). A survey of binary systems (en inglés). 
  • Pflugfelder, Hala O.; Chein, Orin; Smith, Jonathan D. H (1990). Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Sigma Series in Pure Mathematics (en inglés) 8. Berlín: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0. 
  • Dudek, Wieslaw A.; Glazek, Kazimierz (2008). «Around the Hosszú-Gluskin theorem for n-ary groups.» (en Inglés). Discrete Mathematics 308 (21):  pp. 4861-4876. http://dblp.uni-trier.de/db/journals/dm/dm308.html#DudekG08. 
  • Pflugfelder, Hala O (1990). Quasigroups and loops; introduction. Sigma Series in Pure Mathematics (en inglés) 7. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2. 
  • Smith, Jonathan D. H. (2007). An introduction to quasigroups and their representations (en inglés). Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-537-8. 
  • Smith, Jonathan D. H.; Romanowska, Anna B. (1999). Post-Modern Algebra. Pure and applied mathematics (en inglés). Nueva York: Wiley. ISBN 1-58488-537-8. 

Enlaces externos[editar]