Hipercubo

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Teseractos
Hypercubecentral.svg
Diagrama Schlegel
Tipo Politopo regular
Familia Hipercubo
Celdas 8 (4.4.4) Hexahedron.png
Caras 24 {4}
Bordes 32
Vértices 16
Figura de vértice (3.3.3)
Símbolo de Schläfli {4,3,3}
{4,3}x{}
{4}x{4}
{4}x{}x{}
{}x{}x{}x{}
Diagrama Coxeter-Dynkin CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.png
CDW ring.pngCDW 4.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.pngCDW 2.pngCDW ring.png
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CDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.pngCDW 2.pngCDW ring.png
Grupo de simetría B4, [3,3,4]
Doble 16-celdas
Propiedades convexo
Proyección de la proyección de un hipercubo, con una transformación similar a la que se puede aplicar a un cubo de tres dimensiones. La verdadera proyección, es decir, la sombra de un hipercubo posee 3 dimensiones; de la misma forma que un poliedro proyecta una sombra sobre el plano de sólo dos dimensiones.
Elementos de P( P( P(P({})))) en Diagrama de Hasse.

En geometría, un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional (llamemos al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices, esto tomando en cuenta el desarrollo del polinomio (x+2)^n donde el valor de n equivale al número de dimensiones (en este caso particular 4) y x es el largo, alto, ancho, etc., de la figura polidimensional equilátera.

Este término fue acuñado por primera vez en 1888 por el matemático inglés, Charles Howard Hinton, en una obra llamada A New Era of Thought, una especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario.[cita requerida]

Un hipercubo se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que solo veríamos un cubo común. En realidad, veríamos una forma cúbica únicamente en el caso que el hipercubo toque el espacio 3D en forma paralela a una de sus hipercaras. En cualquier otro caso veríamos una poliedro irregular. Para entender esto, imaginemos que un cubo puede proyectarse en un plano como un cuadrado, pero también como un romboide.

No podemos ver un hipercubo porque estamos sujetos a tres dimensiones, por lo que solo podemos ver la proyección de lo que seria un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Pero en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las líneas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.[1]

Se puede ver una explicación audiovisual interesante sobre este objeto en el capítulo 10 del documental Cosmos: un viaje personal, de Carl Sagan.

Coordenadas[editar]

Un hipercubo de unidad con n dimensiones es la envoltura convexa de los puntos dados por todas las permutaciones de par de las coordenadas cartesianas (\pm 1/2, \pm 1/2, \cdots, \pm 1/2). Tiene una longitud de lado de arco de 1 y un volumen n-dimensional de 1.

Cubo unitario de cuatro dimensiones[editar]

Definición[editar]

Se llama cubo unitario de cuatro dimensiones al conjunto de puntos[2] (x, y, z, t) que cumplen las relaciones

0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ 1
0 ≤ z ≤ 1
0 ≤ t ≤ 1.

Vértices[editar]

Los vértices del cubo unitario son los puntos (x, y, z, t) en los cuales x, y, z, t están reemplazados o bien por un cero o bien por la unidad. Dichos vértices son 16 porque representan el número de arreglos con repetición de tamaño cuatro con dos datos.[3]

Aristas[editar]

Se llaman aristas del cubo unitario de cuatro dimensiones los conjuntos de puntos[4] que tienen todas sus coordenadas, a excepción de una, constantes (iguales a 0 ó 1) y la cuarta toma todos los valores desde 0 hasta 1.

Ejemplos de aristas:

  1. x=0, y=0, z=0, 0 ≤ t ≤ 1
  2. 0 ≤ x ≤ 1, y=0, z=0, t=0
  3. x = 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0, t = 1

Hay 32 aristas del cubo unitario tetradimensional.

Cara bidimensional[editar]

Cara tridimensional[editar]

Diagonal principal[editar]

En un n-cubo la diagonal principal viene dada por:

D_n = L \sqrt{n}

siendo L la longitud de la arista, como se puede demostrar por inducción a partir del teorema de Pitágoras:

D_n^2 = D_{n-1}^2 + L^2, \qquad D_1 = L

Para un hipercubo ordinario en cuatro dimensiones (n = 4) la diagonal principal mide el dobel del lado de la arista Dn = 2L.

hipervolumen y volumen[editar]

El hipervolumen tetradimensional encerrado en un hipercubo es L4 mientras que el volumen de su frontera es 8L3. Para un n-cubo se tienen para las medidas de n-volumen:

V_n = L^n, \qquad V_{n-1} = (2n)L^{n-1}

Computación[editar]

El hipercubo es una de las topologías de multicomputadoras con conmutador, la cual trata de redes de interconexión de CPU donde cada uno tiene su propia memoria exclusiva.

Un hipercubo es un cubo n-dimensional, por ejemplo dos cubos cada uno con 8 vértices y 12 aristas, cada vértice es una CPU y cada arista sería una conexión entre 2 CPU de esta manera se conectan los vértices correspondientes a cada vértice de los cubos.

Para extender el cubo a 5 dimensiones, podríamos añadir a la figura otro conjunto de dos cubos conectados entre sí y conectar las aristas correspondientes en las dos mitades y así sucesivamente.

Para un cubo de n-dimensiones, cada CPU tiene n conexiones con otras CPU así, la complejidad del cableado aumenta en proporción logarítmica con el tamaño, puesto que sólo se conectan los vértices vecinos más cercanos muchos mensajes deben realizar varios saltos antes de poder llegar a su destino, la trayectoria más grande también crece en forma logarítmica con el tamaño.

Bases de datos[editar]

Los hipercubos en aplicaciones de bases de datos se utilizan comúnmente para generar resúmenes, estadísticas, proyecciones y otros tipos de procesos de información. Cuando se tiene fuentes de datos detalladas que constan de millones de registros, usando la metodología OLAP por medio de un hipercubo, los millones de registros, se preprocesan generando acumulados siguiendo los criterios requeridos por el usuario que finalmente utilizará la información ya procesada por este medio. Asimismo, el usuario final tiene la capacidad para especificar diversos criterios que definen cual y de que forma será presentada, acumulada y ordenada la información, obteniéndose los resultados a una velocidad muy superior de la que se obtendría con un sistema de bases de datos relacional o a objetos. (complementar)

Ficción[editar]

  • En la película Cube 2: Hypercube (2002)[5] se realiza una conjetura fantástica de lo que podría ser la construcción de un hipercubo con seres humanos dentro. La película trata del intento de escapar de este hipercubo que funciona como prisión y que cruza diferentes espacios y tiempos.
  • El relato de Robert A. Heinlein, "...Y construyó una casa torcida", se basa en el intento de un arquitecto visionario de construir una casa en forma de teseracto.
  • En la serie canadiense El Colegio del Agujero Negro, en el episodio 30, titulado «Tesseract», el colegio se ve transformado en un hipercubo.
  • En la serie de ciencia ficción Terminator: The Sarah Connor Chronicles se observa en la oficina del personaje Catherine Weaver un modelo de teseracto como objeto de decoración.
  • En la serie animada Adventure Time, en el episodio "El verdadero tú" Finn crea un Hipercubo que a su vez es un Agujero negro
  • En la película The Avengers (película de 2012), el cubo cósmico con propiedades interdimensionales, que es el centro de la trama argumental, recibe el nombre de Teseracto.
  • En la película Flatland: The Movie, se habla y muestra un hipercubo que visita la tercera dimensión
  • En la película de Iron Man 2 sale una imagen de un hipercubo en el cuaderno del padre de Tony y es usado para encontrar un nuevo elemento.
  • En la película de S. Darko: La Secuela caen hipercubos a la tierra, chocando contra la superficie como meteoritos.
  • En el libro, El principio del tiempo de Jorge Ortiz, se nombra a un teseracto como el iniciador del Big Bang

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Sagan, Carl (1980). Cosmos: un viaje personal, Capítulo 10. El filo de la eternidad.  Minutos 29:00 a 30:00 aproximadamente.
  2. Gelfand/Glagolieva/ Kirillov: El método de coordenadas Editorial Mir, Moscú (1981), pg. 82
  3. Op. cit. pg. 86
  4. Op. cit. pg. 87
  5. Información en IMDb sobre Cube 2: Hypercube.