Superficie reglada

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

Clasificación de las superficies regladas [editar]

Superficies regladas son:

el plano
las superficies de curvatura simple:
- superficie cilíndrica
  - superficie cilíndrica de revolución
  - superficie cilíndrica de no revolución
- superficie cónica
  - superficie cónica de revolución
  - superficie cónica de no revolución
las superficies alabeadas
- cilindroide
- conoide
- superficie doblemente reglada
  - paraboloide hiperbólico
  - hiperboloide de revolución

Ecuaciones matemáticas [editar]

Un hiperboloide de una sola hoja, es una superficie de revolución. Los alambres son líneas rectas.

Una superficie $\mathbf{S}$ es reglada si por cada punto de la misma, existe una línea recta contenida en $\mathbf{S}$ . Una superficie reglada $\, S$ puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

$\mathbf{S}(t,u) = \mathbf{p}(t) + u \mathbf{r}(t)$

donde $\mathbf{p}(t)$ es una curva en $\mathbf{S}$ , y $\mathbf{r}(t)$ es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

$\begin{align} \mathbf{p} &= (\cos(t), \sin(t), 0)\\ \mathbf{r} &= \left( \cos \left( \frac{t}{2} \right) \cos(t) , \cos \left( \frac{t}{2} \right) \sin(t), \sin \left( \frac{t}{2} \right) \right) \end{align}$

se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada $\mathbf{S}$ puede representarse paramétricamente como:

$\mathbf{S}(t,u) = (1-u) \mathbf{p}(t) + u \mathbf{q}(t)$

Donde $\mathbf{p}$ y $\mathbf{q}$ son dos curvas de $\mathbf{S}$ que no se intersecan. Por ejemplo, cuando $\mathbf{p}(t)$ y $\mathbf{q}(t)$ se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.