Superficie reglada

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Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

Clasificación de las superficies regladas[editar]

Superficies regladas son:

  • el plano
  • las superficies de curvatura simple:
    • superficie cilíndrica
      • superficie cilíndrica de revolución
      • superficie cilíndrica de no revolución
    • superficie cónica
      • superficie cónica de revolución
      • superficie cónica de no revolución
  • las superficies alabeadas
    • cilindroide
    • conoide
    • superficie doblemente reglada
      • paraboloide hiperbólico
      • hiperboloide de revolución

Ecuaciones matemáticas[editar]

Un hiperboloide de una sola hoja, es una superficie de revolución. Los alambres son líneas rectas.

Una superficie \mathbf{S} es reglada si por cada punto de la misma, existe una línea recta contenida en \mathbf{S}. Una superficie reglada \, S puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

\mathbf{S}(t,u) = \mathbf{p}(t) + u \mathbf{r}(t)

donde \mathbf{p}(t) es una curva en \mathbf{S}, y \mathbf{r}(t) es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

 \begin{align}
\mathbf{p} &= (\cos(t), \sin(t), 0)\\
\mathbf{r} &= \left( \cos \left( \frac{t}{2} \right) \cos(t) , \cos \left( \frac{t}{2} \right) \sin(t), \sin \left( \frac{t}{2} \right) \right)
\end{align}

se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada \mathbf{S} puede representarse paramétricamente como:

\mathbf{S}(t,u) = (1-u) \mathbf{p}(t) + u \mathbf{q}(t)

Donde \mathbf{p} y \mathbf{q} son dos curvas de \mathbf{S} que no se intersecan. Por ejemplo, cuando \mathbf{p}(t) y \mathbf{q}(t) se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.

 x^2 + y^2 - z^2 =  1 \,

Véase también[editar]