Rectas alabeadas

Dos rectas alabeadas no son paralelas pero tampoco se cortan.

Rectas alabeadas, en geometría, se denomina a las que no son paralelas ni se intersecan en el espacio. Esto equivale a decir que no pertenecen al mismo plano. Un ejemplo simple de rectas alabeadas es el par de rectas que recorren los bordes opuestos de un tetraedro regular. Las rectas coplanares o bien se intersecan, o bien son paralelas, así que las rectas alabeadas sólo existen en tres o más dimensiones.

Distancia entre rectas alabeadas

La distancia entre dos rectas alabeadas es la mínima distancia entre sendos puntos de cada recta. Se demuestra que dicho mínimo sucede cuando el segmento que une ambos puntos es perpendicular a ambas rectas.

Dadas las rectas g y h que pasan por los puntos $A = \overrightarrow{OA} = \vec a$ y $B = \overrightarrow{OB} = \vec b$ y cuyos vectores dirección son $\vec v$ y $\vec w$ respectivamente. Entonces sus ecuaciones paramétricas son:

$g: \vec x = \vec a + r \vec v$

$h: \vec x = \vec b + s \vec w \ \ \, r,s \in \R$

donde $\vec a,\,\vec b,\,\vec v,\,\vec w \in \R^3$ y los tres vectores $\vec a - \vec b, \vec v, \vec w$ son linealmente independientes.

El vector normal $\vec n$ perpendicular a los dos vectores de dirección $\vec v$ y $\vec w$ se puede calcular a partir de su producto vectorial:

$\vec n = \vec v \times \vec w$ y dejarlo de longitud unitaria: $\vec n_0 = \frac{\vec v \times \vec w}{|\vec v \times \vec w|}$.

Entonces, la distancia entre ambas rectas se puede calcular como la proyección de cualquier segmento con extremos en ambas rectas, sobre dicho vector normal. En particular, podemos usar los puntos A y B:

$d(g,h)=|(\vec a -\vec b)\cdot \vec n_0|.$

Véase también

• Polígono alabeado

Referencias

• Esta obra deriva de la traducción parcial de Windschiefe, concretamente de esta versión, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en alemán.