Rectas alabeadas

Rectas alabeadas, en geometría, se denomina a las que no son paralelas ni se intersecan en el espacio. Esto equivale a decir que no pertenecen al mismo plano. Un ejemplo simple de rectas alabeadas es el par de rectas que recorren los bordes opuestos de un tetraedro regular. Las rectas coplanares o se intersecan o bien son paralelas, así que las rectas alabeadas sólo existen en tres o más dimensiones.

Explicación

En un par de rectas alabeadas, si cada recta está definida por dos puntos, entonces estos cuatro puntos no son coplanares. Por tanto, serán los vértices de un tetraedro de volumen no nulo. Así, dos pares cualesquiera de puntos que definen un tetraedro de volumen no nulo también definen un par de rectas alabeadas. De manera tal que se puede realizar un test para saber si dos pares de puntos (a,b) y (c,d) definen rectas alabeadas, aplicando la fórmula para el volumen de un tetraedro, V = (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|, y verificando que el volumen no sea nulo.

Si se eligen cuatro puntos al azar dentro de un cubo, casi seguramente éstos definirán un par de rectas alabeadas, porque luego de elegir los tres primeros puntos, el cuarto punto definirá una línea no alabeada si, y sólo si, es coplanar con los primeros tres puntos, y el plano al que pertenecen los tres primeros puntos forma un subconjunto del cubo de medida cero. De la misma manera, en el espacio tridimensional, una perturbación muy pequeña de dos rectas paralelas o que se intersecan las convertirá con mucha probabilidad en rectas alabeadas. En este sentido, las rectas alabeadas son el caso usual, mientras que las rectas paralelas y las rectas que se intersecan son casos especiales.

Distancia entre rectas alabeadas

Si los puntos (v₁, v₂) determinan una recta y los puntos (v₃, v₄) determinan otra alabeada entonces la distancia entre ellas está dada por:

$d = \frac{||(v_4-v_1) \cdot (v_3-v_1) \times (v_2-v_1)||}{||(v_4-v_3) \times (v_2 -v_1)||}$

Referencias

• http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_lines