Espacio cociente (álgebra lineal)

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En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Definición[editar]

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados u,v \in E diremos que están relacionados módulo F\, si  u-v \in F.

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación  x\mathcal{R}y:=\langle x-y \in F \rangle y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento x \in E se tiene que  x-x=\vec{0}\in F.
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos x,y \in E se tiene que si  x-y=v \in F entonces  -v \in F es decir  y-x\in F.
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos x,y,z \in E se tiene que si  x-y \in F y  y-z \in F entonces  F \ni (x-y)+(y-z) = x-z es decir  x-z \in F .

Observación: u-v \in F equivale a  u-v=w, w \in F , es decir,  u = v+w, w \in F y abusando del lenguaje  u = v+F.

Se nota por  [u]=u+F: = \{u+v : v \in F \} = \{ w : w=u+v , \; v \in F \} a la clase de u\, módulo F\,.

Llamaremos espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior:

Se nota por  E/F_{}^{} a dicho espacio cociente.

El espacio  E/F_{}^{} es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

\begin{matrix} [u]+ [v] & := & [u+v] \\ \;\;\;\;\;\;\;\lambda [u] & := & [ \lambda u]\;\;\;\; \end{matrix}
La suma y multiplicación están definidas por ser F\, un subespacio vectorial:
[u]+[v]=(u+F)+(v+F)=u+v+(F+F) =u+v+F =[u+v]\in E/F.
  • Propiedad conmutativa:
[u]+[v]=[u+v]=[v+u]=[v]+[u].
  • Propiedad asociativa:
[u]+([v]+[w])=[u]+[v+w]=[u+(v+w)]=[(u+v)+w]=[u+v]+[w]=([u]+[v])+[w].
  • Existencia del elemento neutro:
[0]+[v]=[0+v]=[v].
  • Existencia del elemento opuesto:
[u]+[-u]=[u-u]=[0].
\lambda [u]= \lambda(u+F) = \lambda u + \lambda F = \lambda u + F =[\lambda u]\in E/F.
  • Propiedad asociativa:
\alpha ( \lambda [u])=\alpha [\lambda u]=[\alpha(\lambda u)]=[(\alpha \lambda) u] =(\alpha \lambda) [u].
  • Propiedad del elemento neutro de K:
1 [u]=[1 u]=[u].
  • Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
\lambda ([u]+[v])=\lambda[u+v]=[\lambda(u+v)]=[\lambda u + \lambda v] =[\lambda u] + [\lambda v] =\lambda [u]+ \lambda [v].
  • Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:
(\lambda + \alpha ) [u]=[(\lambda + \alpha ) u]=[\lambda u + \alpha u]=[\lambda u] +[ \alpha u] =\lambda [u] + \alpha [u]

Observaciones

Si u \in v + F \Leftrightarrow u+F=v+F \Leftrightarrow [u]=[v] por constituir E/F una partición de E\,.
Si u \in F \Leftrightarrow u \in [0].
Si u \not \in F, \langle u \rangle \cap \; (u+F) \neq \emptyset \Leftrightarrow \lambda u = u + v, v\in F \Leftrightarrow (\lambda-1) u \in F \Leftrightarrow \lambda =1.
Los elementos de [u]:\;[u] \neq [0] no son un espacio vectorial en E\, pues no tiene el elemento neutro \vec{0}.

Dimensión del espacio cociente[editar]

Dado E\, un espacio vectorial y F \subset E un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

  • E/F es de dimensión finita
  • dim E/F=dim E-dim F

Demostración:

Sean m = dim F, n = dim E y u_1,...,u_m una base de F. Se puede completar la base hasta obtener una de E, {u_1,...,u_m,u_{m+1},...,u_n}.

 \forall u \in E,\;u=\sum_{i=1}^n k_i u_i.

Tomando clases, [u]=\sum_{i=m+1}^n k_i [u_i], pues [u_1]=...,[u_m]=0 (ya que u_1,...,u_m \in F). Luego, se tiene que [u_{m+1}],...,[u_n] generan E/F.

Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:

0=\sum_{i=m+1}^n k_i [u_i]=[\sum_{i=m+1}^n k_i u_i],

entonces, \sum_{i=m+1}^n k_i u_i pertenece a F, en consecuencia, existen k_1, ..., k_m tales que \sum_{i=m+1}^n k_i u_i=\sum_{i=1}^m k_i u_i. Por la independencia lineal de u_1,...,u_n, se sigue que k_{m+1}, ..., k_n=0.

Por lo tanto, u_{m+1},...,u_n son una base de E/F y dim E/F = n-m = dim E - dim F.

Ejemplo[editar]

Sea F\, un subespacio vectorial de \mathbb{R}^2 generado por un vector v\,, F=\langle v \rangle, si se considera el espacio cociente \mathbb{R}^2 / F la clase de un vectoru \in \mathbb{R}^2 será:

[u]=\{u+v : v \in F\}, siendo su espacio cociente \mathbb{R}^2 / F =\{[u]:u\in \mathbb{R}^2 \}, es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.
F y 2 clases [u], [u'] del espacio cociente \mathbb{R}^2 / F.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.