Función inyectiva

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Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función $f \colon X \to Y \,$ es inyectiva si a cada valor del conjunto $X\,$ (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto $Y\,$ (imagen) de $f\,$. Es decir, a cada elemento del conjunto Y le corresponde un solo valor de X tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dada por $f(x)=x^2\,$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como $f(2)$ y $f(-2)$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función $g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

De manera más precisa, una función $f:X\to Y\,$ es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:

• Si $x_1,x_2$ son elementos de $X\,$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$, necesariamente se cumple $x_1=x_2$.
• Si $x_1,x_2$ son elementos diferentes de $X\,$, necesariamente se cumple $f(x_1)\ne f(x_2)$

Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función inyectiva $\scriptstyle f:A \to B$ tienen cardinales que cumplen:

$\mbox{card}(A) \le \mbox{card}(B)$

Si además existe otra aplicación inyectiva $\scriptstyle g:B \to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Ejemplos

• Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
• La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
• La función g : R → R definida por g(x) = x² no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
• La función exponencial exp : R → R definida por exp(x) = e^x es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
• El logaritmo natural En la función ln : (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
• La función g : R → R definida por g(x) = xⁿ − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).

En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.

Véase también

• Función biyectiva
• Función sobreyectiva
• Correspondencia unívoca