Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que $|X|=|Y|$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

$\begin{array}{rrcl} f : & X & \to & Y \\ & x & \to & y = f(x) \end{array}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

$\forall y \in Y \; : \quad \exists !\ x\in X \; / \quad f(x) = y$

Es decir, si para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$.

Dados dos conjuntos $X$ e $Y$ finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si $X$ e $Y$ tienen el mismo número de elementos.

Teorema

Si $f\,$ es una función biyectiva, entonces su función inversa $f^{-1}\,$ existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función:

$f(x) =6x + 9 \,$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

$f^{-1}(y) = \frac{y - 9}{6} \,$

también lo es.

El siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
No sobreyectiva

Cardinalidad y biyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función biyectiva $\scriptstyle f:A \to B$ tienen cardinales que cumplen:

$\mbox{card}(A) = \mbox{card}(B)\,$

Véase también

• Función inyectiva
• Función sobreyectiva
• Correspondencia biunívoca

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Bijection» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.