Función biyectiva

Ejemplo de función biyectiva.

En matemática, una función $f \colon X \to Y \,$ es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente,

$\forall y\in Y : \exists !\ x\in X,\ f(x) = y$

Una implicación directa de lo anterior, es que en una función biyectiva la cardinalidad del conjunto de salida o dominio, y el de llegada o codominio, son iguales. Esto también se puede ver en el ejemplo, donde |X|=|Y|=4.

Teorema

Si $f\,$ es una función biyectiva, entonces su función inversa $f^{-1}\,$ existe y también es biyectiva.

Ejemplo

La función:

$f(x) =6x + 9 \,$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

$f^{-1}(y) = \frac{y - 9}{6} \,$

también lo es.

El siguiente diagrama se puede ver cuando la función es biyectiva:

Funciones	Inyectiva	No inyectiva
Sobreyectiva	Biyectiva
No sobreyectiva

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función biyectiva $\scriptstyle f:A \to B$ tienen cardinales que cumplen:

$\mbox{card}(A) = \mbox{card}(B)\,$

Véase también

• Función inyectiva
• Función sobreyectiva
• Correspondencia biunívoca

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Bijection» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.