Partición de un conjunto

Partición del círculo en 6 partes {A₁, ... , A₆}.

En matemática, una partición de un conjunto A es la familia de subconjuntos {A_i: i ∈ I} que cumple las siguientes condiciones:

1. $A_i \neq \emptyset$ para todo $i \in I$.
2. $\bigcup_{i\in I} A_i = A$.
3. $A_i \cap A_j \neq \emptyset \Rightarrow A_i=A_j$.

Por lo tanto, se trata de un recubrimiento en el que los subconjuntos pertenecientes a la familia, dos a dos, son disjuntos (es decir, su intersección es vacía).

Hay una íntima relación entre partición y relación de equivalencia, definidas sobre un mismo conjunto A: el conjunto de clases de equivalencia forma una partición de A. Y al revés, dada cualquier partición P de un conjunto A podemos definir una relación de equivalencia donde x ~ y si y sólo si pertenecen al mismo subconjunto de la partición P.

Ejemplos

• Todo conjunto de un elemento {x} tiene exactamente una partición: { {x} }.
• Para cualquier conjunto no vacío X, P = {X} es una partición de X.
• El conjunto { 1, 2, 3 } tiene estas 5 particiones:
  • { {1}, {2}, {3} }, a veces notada por 1/2/3.
  • { {1, 2}, {3} }, a veces notada por 12/3.
  • { {1, 3}, {2} }, a veces notada por 13/2.
  • { {1}, {2, 3} }, a veces notada por 1/23.
  • { {1, 2, 3} }, a veces notada por 123.
• Obsérvese que
  • { {}, {1,3}, {2} } no es una partición (pues contiene al conjunto vacío).

El número de particiones de un conjunto finito

El número de Bell B_n, nombrado así en honor a Eric Temple Bell, es el número de particiones diferentes de un conjunto con n elementos. Los primeros números de Bell son: B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203 (sucesión A000110 en OEIS).

Los números de Bell satisfacen la siguiente relación recursiva: $B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k}B_k$.

Véase también

• recubrimiento (matemática)