Interior (topología)

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Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico, y A \subset X . Se define el interior de A (notado \mbox{int}(A) o \stackrel{\ \circ}{A}) como el abierto más grande contenido en A. Es decir, V=\mbox{int}(A) si y sólo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en V.

Caracterización[editar]

Constructivamente, se define \mbox{int}(A)=\cup \{V \in \mathcal{T}: V \subset A\}. Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

También se puede caracterizar el interior por medio de los entornos, de la siguiente manera: \mbox{int}(A)=\{x\in A:  \exists V \subset N_x, V\subset A\} , donde N_x representa el conjunto de todos los entornos del punto x. En espacios métricos se puede explicitar aún más: \mbox{int}(A)=\{x \in X: \exists \epsilon >0, B(x, \epsilon) \subset A \} .

Propiedades[editar]

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

  1. A es abierto si y sólo si \mbox{int}(A)=A
  2. \mbox{int}(\mbox{int}(A))= \mbox{int}(A)
  3. A \subset B \Rightarrow \mbox{int}(A)\subset \mbox{int}(B)
  4. \mbox{int}(\varnothing)=\varnothing, \mbox{int}(X)=X (pues ambos son conjuntos abiertos)
  5. \mbox{int}(A)\cap \mbox{int}(B)= \mbox{int}(A \cap B)
  6. \mbox{int}(A) \cup \mbox{int}(B) \subset \mbox{int}(A \cup B) (pudiendo ser estricto)
  7. \mbox{int}(A)=(\mbox{adh}(A^c))^c\,

Hay conjuntos de interior vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales \mathbb{I} y los racionales \mathbb{Q} en la recta real.