Interior (topología)

Sea $(X,\mathcal{T})$ un espacio topológico, y $A \subset X$. Se define el interior de $A$ (notado $\mbox{int}(A)$ o $\stackrel{\ \circ}{A}$) como el abierto más grande contenido en $A$. Es decir, $V=\mbox{int}(A)$ si y sólo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en $V$.

Caracterización

Constructivamente, se define $\mbox{int}(A)=\cup \{V \in \mathcal{T}: V \subset A\}$. Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

También se puede caracterizar el interior por medio de los entornos, de la siguiente manera: $\mbox{int}(A)=\{x\in A: \exists V \subset N_x, V\subset A\}$, donde $N_x$ representa el conjunto de todos los entornos del punto $x$. En espacios métricos se puede explicitar aún más: $\mbox{int}(A)=\{x \in X: \exists \epsilon >0, B(x, \epsilon) \subset A \}$.

Propiedades

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

1. $A$ es abierto si y sólo si $\mbox{int}(A)=A$
2. $\mbox{int}(\mbox{int}(A))= \mbox{int}(A)$
3. $A \subset B \Rightarrow \mbox{int}(A)\subset \mbox{int}(B)$
4. $\mbox{int}(\varnothing)=\varnothing, \mbox{int}(X)=X$ (pues ambos son conjuntos abiertos)
5. $\mbox{int}(A)\cap \mbox{int}(B)= \mbox{int}(A \cap B)$
6. $\mbox{int}(A) \cup \mbox{int}(B) \subset \mbox{int}(A \cup B)$ (pudiendo ser estricto)
7. $\mbox{int}(A)=(\mbox{adh}(A^c))^c\,$

Hay conjuntos de interior vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales $\mathbb{I}$ y los racionales $\mathbb{Q}$ en la recta real.