Interior (topología)

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Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico, y A \subset X . Se define el interior de A (notado \mbox{int}(A) o \stackrel{\ \circ}{A}) como la unión de todos los abiertos contenidos en A.[1] Es decir, V=\mbox{int}(A) si y sólo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en V.

Caracterización[editar]

Constructivamente, se define \mbox{int}(A)=\cup \{V \in \mathcal{T}: V \subset A\}. Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

También se puede caracterizar el interior por medio de los entornos, de la siguiente manera: \mbox{int}(A)=\{x\in A:  \exists V \subset N_x, V\subset A\} , donde N_x representa el conjunto de todos los entornos del punto x. En espacios métricos se puede explicitar aún más: \mbox{int}(A)=\{x \in X: \exists \epsilon >0, B(x, \epsilon) \subset A \} .

  • Otra posibibildad considerenado el int(A) como el conjunto de todos los puntos interiores de A. Un punto h de A es interior de A si existe un abierto del cual es miembro h, y este abierto está contenido en A. Simbólicamente h ∈ H ⊂ A, donde H es abierto.[2]

Ejemplo[editar]

Sea X = ℝ2. Para cada punto del plano consideramos su vecindad el disco abierto de centro en él y radio r real positivo.

Considérese el conjunto A = {P (x,y}/ 3 < |x |+ | y|< 5}; sus puntos están entre dos rombos cuadrados con centro en el origen.
Todo punto de A es punto interior de A. Por lo que A es abierto, también A = int(A).[3]

Propiedades[editar]

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

  1. int(A) ⊂ A[4]
  2. A es abierto si y sólo si \mbox{int}(A)=A
  3. \mbox{int}(\mbox{int}(A))= \mbox{int}(A)
  4. A \subset B \Rightarrow \mbox{int}(A)\subset \mbox{int}(B)
  5. \mbox{int}(\varnothing)=\varnothing, \mbox{int}(X)=X (pues ambos son conjuntos abiertos)
  6. \mbox{int}(A)\cap \mbox{int}(B)= \mbox{int}(A \cap B)
  7. \mbox{int}(A) \cup \mbox{int}(B) \subset \mbox{int}(A \cup B) (pudiendo ser estricto)
  8. \mbox{int}(A)=(\mbox{adh}(A^c))^c\,
  9. El interior de A, la frontera de A y el exterior de A constituyen una partición de X.[5]

Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales \mathbb{I} y los racionales \mathbb{Q} en la recta real.Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.[6]

Referencias y notas[editar]

  1. Munkres: Topología. No cabe la adjetivación 'más grande'
  2. Ayala y otros: Elementos de topología general ISBN 84-7829-006-0
  3. Adaptación de Haaser y otros: Análisis matemático II
  4. El interior es la unión de todos los abiertos contenidos en A
  5. La unión de los tres es X, la intersección de cualquier dos de ellos es ∅
  6. Ningún elemento de ℚ es punto interior de él