Circunferencia goniométrica

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Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sint).

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo.

Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

x^2 + y^2 = 1 = \mathrm{radio} = \mathrm{hipotenusa} \,

Razones trigonométricas en la circunferencia unidad[editar]

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.
El área del cuadrado y del círculo unitario es el número pi.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo  \alpha \, con el eje X, las principales funciones trigonométricas se pueden representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:

El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

 \sin(\alpha)= \frac{a}{c}

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

 \sin(\alpha)= a \,

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

 \cos(\alpha)= \frac{b}{c}

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

 \cos(\alpha)= b \,

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

 \tan(\alpha)= \frac{a}{b}
Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.
Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC

como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC

 \tan(\alpha)= \overline{AE} \,

Razones trigonométricas recíprocas[editar]

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:


   \csc (\alpha) =
   \frac{1}{\sin (\alpha)} =
   \overline{OF}

   \sec (\alpha) =
   \frac{1}{\cos (\alpha)} =
   \overline{OE}

   \cot (\alpha) =
   \frac{1}{\tan (\alpha)} =
   \overline{AF}

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

Topología[editar]

En topología, a la circunferencia unitaria (también denominado disco unidad) se la clasifica como S1; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad S2.

Véase también[editar]