Función trigonométrica

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Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a un círculo que representa la unidad, centrado en O.
Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en relación a un círculo que representa la unidad, centrado en O.
Animación de la función seno
Animación de la función seno

En matemática, las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo; tienen importancia en el estudio de la geometría de los triángulos y en la representación de fenómenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones.

Tabla de contenidos

[editar] Historia

El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y muchos de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matemáticos de la antigua Grecia, de la India y estudiosos musulmanes.

El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas luego por Hiparco de Nicea (180-125 AC) ,Aryabhata (476–550), Varahamihira, Brahmagupta, Unicode|Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir al-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c. 1400), Rheticus , y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa. definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas "Fórmulas de Euler" .

La noción de que debería existir alguna correspondencia estándar entre la longitud de los lados de un triángulo siguió rápidamente a la idea de que triángulos similares mantienen la misma proporción entre sus lados. Esto es, que para cualquier triángulo similar la relación entre la hipotenusa y otro de los lados permanece igual. Si la hipotenusa es el doble de larga, así serán los catetos. Justamente estas proporciones son las que expresan las funciones trigonométricas.

[editar] Introducción

Identidades trigonométricas fundamentales
Identidades trigonométricas fundamentales

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo que contiene al ángulo, y pueden definirse igualmente como la longitud de varios segmentos partiendo de un círculo que represente a la unidad. Definiciones más modernas las expresan como series infinitas o como solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos. Todos estos aspectos serán desarrollados a continuación.

Según el uso moderno, existen seis funciones trigonométricas básicas, las que se tabulan abajo junto a las ecuaciones que las relacionan. Especialmente en el caso de las últimas cuatro, tales relaciones se toman como definición de las funciones, pero es posible definirlas geométricamente o por otros medios y luego encontrar estas relaciones. Una pocas funciones más fueron comunes históricamente y aparecieron en las primeras tablas, pero no se utilizan actualmente, por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

Función Abreviatura Relación
Seno sin (sen) \sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Coseno cos \cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,
Tangente tan (tg) \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Cotangente cot (cotg) \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\operatorname{sen} \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Secante sec \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
Cosecante csc (cosec) \csc \theta =\frac{1}{\operatorname{sen} \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,

[editar] Definiciones según un triángulo rectángulo

Para definir las funciones trigonométricas del ángulo A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será:

  • La hipotenusa (c) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
  • El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que nos interesa.
  • El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar las funciones trigonométricas.

Todos los triángulos considerados se encuentran en el plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radian (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radian. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango. Mediante el círculo unitario, y utilizando ciertas simetrías que llevan a funciones periódicas, podemos extender los argumentos a la serie completa de números reales.

1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto sobre la longitud de la hipotenusa. En este caso:

\sin A = \frac {\textrm{opuesto}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {a} {h}.

Nótese que el valor de esta relación no depende del triángulo rectángulo específico que elijamos, siempre que contenga el ángulo A , en cuyo caso se trata de triángulos similares.


2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:

\cos A = \frac {\textrm{adyacente}} {\textrm{hipotenusa}} = \frac {b} {h}.


3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:

\tan A = \frac {\textrm{opuesto}} {\textrm{adyacente}} = \frac {a} {b}.


4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:

\cot A = \frac {\textrm{adyacente}} {\textrm{opuesto}} = \frac {b} {a}.


5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:

\sec A = \frac {\textrm{hipotenusa}} {\textrm{adyacente}} = \frac {h} {b}.


6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:

\csc A = \frac {\textrm{hipotenusa}} {\textrm{opuesto}} = \frac {h} {a}.

[editar] Funciones trigonométricas de ángulos notables

0° 30° 45° 60° 90°
Sen 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
Cos 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
Tan 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \infty

[editar] Definiciones analíticas

La definición analítica más frecuente dentro del análisis real se hace a partir de ecuaciones diferenciales. En concreto se definen dos funciones C(x) y S(x) que satisfacen el siguiente sistema de primer orden:

\begin{cases} S'(x) = C(x) & S(0) = 0 \\ C(x) = -S'(x)& C(0) = 1 \end{cases}

El teorema de Picard-Lindelöf de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales lleva a que existen las funciones anteriores que se llaman respectivamente seno y coseno, es decir:

\cos x := C(x), \qquad \sin x := S(x)

Esta definición de analítica de las funciones trigonométricas permite una definición no-geométrica del número π, a saber, dicho número es el mínimo número real positivo que es una cero de la función seno.

[editar] Series de potencias

A partir de las definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuyo desarrollo en serie de potencias viene dado por:

\begin{matrix} \sin x & = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} & = \cfrac{x}{1!} - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cfrac{x^7}{7!} \dots\\ \\ \cos x & = \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} & = \cfrac{1}{0!} - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} - \cfrac{x^6}{6!} \dots \end{matrix}

[editar] Relación con la exponencial compleja

Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:

e^{ix} = \cos x + i \sin x\,

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

[editar] Funciones inversas

Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son:

  • Arcoseno. La función arcoseno real es una función \left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right)\,, es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

\mbox{arcsin}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\ x + \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} + \cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\ +\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}

  • Arcocoseno. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse sencillamente como:

\mbox{arccos}(x) = \frac{\pi}{2} - \mbox{arcsin}(x)

  • Arcotangente. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de series es:

\mbox{arctg}(x) = \begin{cases} x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots & |x| < 1 \\ \pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots & +\ \mbox{con}\ x \ge 1, -\ \mbox{con}\ x \le 1 \end{cases}

[editar] Generalizaciones

  • Las funciones hiperbólicas son el análogo de las funciones trigonométricas para una hipérbola equilatera. Además el seno y coseno de un número imaginario puro puede expresarse en términos de funciones hiperbólicas.
  • Las funciones elípticas son una generalización biperiódica de las funciones trigonométricas que en el plano complejo sólo son periódics sobre el eje real. En particular las funciones trigonométricas son el límite de las funciones elipticas de Jacobi cuando el parámetro del que dependen tiende a cero.


[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica"
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