Anillo (matemática)

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En álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (A) y dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto (A,+,*), de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto * es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. Si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1) o anillo unitario.

Ejemplo de un anillo[editar]

El ejemplo más intuitivo y familiar de un anillo es el conjunto de los números enteros:

... -8, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 8, ...

junto con las operaciones binarias de la suma y la multiplicación usuales. Históricamente, el conjunto de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo. La razón por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

  1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
  2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b + c).
  3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
  4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
  5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
  6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × b es un número entero.
  7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
  8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
  9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Definición formal[editar]

Sea A un conjunto no vacío, y sean \star y \circ dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto (A,\star,\circ) \, es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación \star. \forall a, b \in A, a \star b \in A
2. La operación \star es asociativa. \forall a,b,c \in A, (a \star b) \star c = a \star (b \star c)
3. La operación \star tiene a n como elemento neutro. \forall a \in A, a \star n = n \star a = a
4. Existe un elemento simétrico para \star. \forall a \in A, \exists b \in A, a \star b = b \star a = n

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5. La operación \star es conmutativa. \forall a,b \in A, a \star b = b \star a

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6. A es cerrado bajo la operación \circ. \forall a, b \in A, a \circ b \in A
7. La operación \circ es asociativa. \forall a,b,c \in A, (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)
8. La operación \circ es distributiva respecto de \star. 
   \forall a, b, c \in A, \quad
   \left \{
      \begin{array}{l}
         a \circ (b \star c) = (a \circ b) \star (a \circ c) \\
         (a \star b) \circ c = (a \circ c) \star (b \circ c) \\
      \end{array}
   \right .

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9. La operación \circ es conmutativa. \forall a,b \in A, a \circ b = b \circ a

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética[editar]

Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:[1]

  • R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
  • R2. R es un semigrupo para la multiplicación;
  • R3. La multiplicación es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

Ejemplos[editar]

  • El conjunto de los enteros gaussianos H = {m+ni: m,n ∈ ℤ}, con la adición y múltiplicación usuales es un anillo unitario. Es un subanillo de los números complejos ℂ.
  • El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación de matrices es un anillo no conmutativo.
  • El conjunto Q(\scriptstyle \sqrt 3) de los números reales: m+n\scriptstyle \sqrt 3 donde m, n ∈ ℚ (son racionales, con la adición y multiplicación, es un anillo unitario conmutativo.[2]
  • El conjunto Z[6] de los enteros módulo 6; con la adición y multiplicación modular, es un anillo finito con divisores de 0.
  • El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en ℤ (conjunto de los enteros), con la adición y multiplicación, es un anillo unitario.

Elementos destacados en un anillo[editar]

  • Elemento cero, denotado por 0, es el elemento neutro para la suma. Para este elemento se verifica lo siguiente:
Sea A un anillo arbitrario. 0 \cdot x = 0 \qquad \forall x \in A
Demostración
 0x = (0+0)x = 0x+0x \Rightarrow 0x= 0x + 0x

Sumando el inverso aditivo de 0x, que existe dado que A es un grupo para la suma, 0x -0x = 0x

Pero 0x-0x= 0. Finalmente 0 = 0x \qquad \forall x\in A
  • Elemento unitario: si un elemento, que denotamos 1, cumple 1 \cdot a = a \cdot 1 = a para todo elemento a del anillo, se llama elemento unitario. El elemento cero y el elemento unitario (caso de existir) sólo coinciden en el caso de que el anillo sea trivial:
Demostración
Sea a \in A : a = a \cdot 1 = a \cdot 0 = 0

Luego, \forall a \in A \quad a = 0

  • Inverso multiplicativo: en un anillo unitario, se pueden definir elementos inversos multiplicativos de la siguiente manera:
    • el elemento b es inverso multiplicativo por la izquierda (o sencillamente inverso por la izquierda) de a si b \cdot a = 1.
    • Así mismo, el elemento c es inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de a si a \cdot c = 1.
No todos los elementos tienen inverso, e incluso es posible que un elemento tenga inverso por la izquierda pero no por la derecha, o viceversa. Sin embargo, cuando un elemento a tiene elemento inverso por la izquierda y por la derecha, entonces ambos son iguales, y se denota simplemente como elemento inverso (a^{-1}).
  • Elemento inversible, elemento invertible o unidad: es todo aquel elemento que posee inverso multiplicativo.
  • Divisor de cero: un elemento a \neq 0 es divisor del cero por la izquierda, si existe algún b \neq 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c \neq 0 distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
  • Elemento regular: un elemento a \neq 0 de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.
  • Elemento idempotente: es cualquier elemento e del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que e \cdot e=e (o alternativamente e^2=e). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.
  • Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento x del anillo para el que existe un número natural n de forma que x^n = 0 (donde x^n se define por recurrencia: x^0 = 1, x^n = x \cdot x^{n-1}). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.

Algunos tipos importantes de anillos[editar]

  • Anillo conmutativo: aquel en el que el producto es conmutativo, esto es, a·b=b·a para todos a y b (no debe confundirse con anillo abeliano).
  • Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.
  • Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.
  • Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.
  • Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).
  • Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.
  • Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.

Subsistemas notables[editar]

Subanillos[editar]

Un subanillo S de un anillo R =(A,+,·) es un subconjunto S \subset R que cumple que es cerrado para la suma y la multiplicación en el anillo, esto es, si a,b \in S, entonces a+b \in S y a\cdot b \in S. Si 1 \in R (es decir, si el anillo es unitario), entonces se exigirá además que 1 \in S. Nótese que en este caso, cuando el anillo es unitario, {0} no será subanillo de R, y sí lo será si R no es unitario.

Un subanillo S es propio cuando no coincide con todo el anillo, es decir, si R \neq S.

Resulta pues que un subanillo es un anillo dentro de otro anillo (para las mismas operaciones). En particular, (S,+) es un subgrupo de (R,+).

Ideales[editar]

De mucho mayor interés en teoría de anillos son los ideales, puesto que no sólo son cerrados respecto de la multiplicación respecto de los elementos del ideal, sino también cuando un elemento del ideal se multiplica por cualquier elemento del anillo:

  • Un subconjunto I \subset R es ideal por la izquierda de un anillo (A,+,·) si (I,+) es subgrupo de (R,+) y dados cualesquiera r \in R y x \in I se tiene que r \cdot x \in I.
  • Un subconjunto I \subset R es ideal por la derecha de un anillo (A,+,·) si (I,+) es subgrupo de (R,+) y dados cualesquiera r \in R y x \in I se tiene que x \cdot r \in I.

Cuando un subconjunto I es ideal por la derecha e ideal por la izquierda se dice que es un ideal bilátero, o simplemente ideal. La propiedad conmutativa asegura que en los anillos conmutativos todo ideal por la izquierda lo es también por la derecha, y todo ideal por la derecha es ideal por la izquierda, esto es, todos los ideales (por la izquierda o por la derecha) de un anillo conmutativo son ideales biláteros.

Un ideal no tiene por qué ser necesariamente un subanillo. Un ideal I se dice que es propio si es distinto de todo el anillo, esto es, I \neq R.

Unidades[editar]

El conjunto de elementos invertibles de un anillo unitario (R,+,\cdot,1_R), llamados unidades de R, forma un grupo respecto de la multiplicación del anillo, que recibe el nombre de grupo de unidades de R, denotado U(R).

Si I es ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio de un anillo unitario R, U(R) es el grupo de unidades de R, entonces I \cap U(R) = \varnothing, esto es, ningún ideal propio tiene elementos invertibles. En particular, ningún ideal (por la izquierda, por la derecha o bilátero) propio tiene por elemento al 1, lo que impide a los ideales ser subanillos de anillos unitarios.

Por ejemplo, las unidades del anillo de los enteros son 1 y -1 (isomorfo al grupo de dos elementos), y el grupo de unidades de las matrices cuadradas de orden n es el grupo lineal general de orden n, que contiene a las matrices con determinante distinto de 0.

Centro[editar]

El centro de un anillo (R,+,\cdot) (denotado por Z(R)) es el conjunto de elementos que conmutan para el producto, es decir Z(R):= \{ r \in R : r \cdot s = s \cdot r , \forall s \in R \}. El centro de un anillo viene a ser como "la parte conmutativa del anillo". Nótese que siempre se tiene que 0 \in Z(R). Los anillos conmutativos son aquellos que coinciden con su centro, i.e., R=Z(R).

Por ejemplo, el centro del anillo de las matrices cuadradas de orden n está constituido únicamente por las matrices escalares, aquellas que son iguales a la matriz identidad multiplicada por un escalar..

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Notas[editar]

  1. P. dubreil y M.L. dubreil Jacoti. Lecciones de Álgebra moderna. 
  2. Algebra Moderna (1965) Birkhoff- Mac Lane; Teide, Barcelona.
  3. El nombre según A.I. Kostrikin.

Bibliografía[editar]

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Enlaces externos[editar]