Dominio euclídeo

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Un dominio euclídeo (o anillo euclídeo) es un par (R,\phi) donde R es un dominio de integridad y \phi es una aplicación norma euclídea, es decir, una aplicación \phi: R \setminus \{0\} \longrightarrow \mathbb{N} \cup \{0\} que cumple las siguientes dos condiciones:

  • \phi(a) \leq \phi(a \cdot b) cualesquiera que sean a,b \in R \setminus \{0\}.
  • Para cualesquiera a,b \in R tales que b \neq 0 se cumple que existen q,r \in R de manera que a = bq + r si r \neq 0 ha de ser \phi(r) < \phi(b).

Es importante señalar que la definición es exactamente esa, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse \phi a todo el conjunto R.

Ejemplos[editar]

  • Considerando el anillo de polinomios en una variable \mathbb{K}[x] con coeficientes en el cuerpo \mathbb{K} y como aplicación norma euclídea tomo el grado \deg de cada polinomio, el resultado es un dominio euclídeo.
  • en el anillo de los enteros gaussianos α = a +bi, entonces se define norma de α, como N(α)= la suma de los cuadrados de a y b.

Ejemplos de norma euclídea[editar]

El valor absoluto es un ejemplo de norma euclídea en \mathbb{Z}, pues |a|\leq |ab| para todo a y b de \mathbb{Z} con b\neq 0, además de por lo indicado en el algoritmo de la división.

Además, en todo cuerpo \mathbb{K} puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante 1 (el elemento neutro multiplicativo de \mathbb{K}), ya que, para cualesquiera elementos a y b de \mathbb{K}, el elemento r y el elemento c aludidos en la definición de norma euclídea pueden tomarse como 0 y \frac{a}{b} respectívamente, y así a=b\left(\frac{a}{b}\right)+0.

Un hecho menos evidente es que si \mathbb{K} es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios \mathbb{K}[x] tiene por norma euclídea la aplicación

\mathrm{grad}:\mathbb{K}[x]\longrightarrow\mathbb{N}

que a cada polinomio no nulo de \mathbb{K}[x] le asigna su grado.

Véase también[editar]

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