Dominio euclídeo

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Un dominio euclídeo (o anillo euclídeo) es un par (K,\nu) donde K es un dominio de integridad y \nu es una aplicación, llamada norma euclídea, es decir, una aplicación \nu: K \setminus \{0\}= K^{*} \longrightarrow \mathbb{Z_+} \cup \{0\} que cumple las siguientes dos condiciones:

  • \nu(a) \leq \nu(a \cdot b) cualesquiera que sean a,b \in K \setminus \{0\}.
  • Para cualesquiera a,b \in K tales que b \neq 0 siempre es posible encontrar q ,r \in K ( q = "cociente" y r = "resto") de manera que a = bq + r si r \neq 0 ha de ser \nu(r) < \nu(b).

Es importante señalar que la definición es exactamente esa, aun cuando en algún caso particular pueda extenderse \nu a todo el conjunto K [cita requerida].

Ejemplos[editar]

  • Considerando el anillo de polinomios en una variable \mathbb{K}[x] con coeficientes en el cuerpo \mathbb{K} y como aplicación norma euclídea tomo el grado \deg de cada polinomio, el resultado es un dominio euclídeo.
  • En el anillo entero de Gauss [1] , cuyo elemento se denota α = a +bi, entonces se define norma de α, como N(α)= la suma de los cuadrados de a y b. I. e., \nu(\alpha) =a^2 +b^2  .

Ejemplos de norma euclídea[editar]

El valor absoluto es un ejemplo de norma euclídea en \mathbb{Z}, pues |a|\leq |ab| para todo a y b de \mathbb{Z} con b\neq 0, además de por lo indicado en el algoritmo de la división.

Además, en todo cuerpo \mathbb{K} puede definirse una norma euclídea, tomándose ésta como la aplicación constante 1 (el elemento neutro multiplicativo de \mathbb{K}), ya que, para cualesquiera elementos a y b de \mathbb{K}, el elemento r y el elemento c aludidos en la definición de norma euclídea pueden tomarse como 0 y \frac{a}{b} respectívamente, y así a=b\left(\frac{a}{b}\right)+0.

Un hecho menos evidente es que si \mathbb{K} es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios \mathbb{K}[x] tiene por norma euclídea la aplicación

\mathrm{grad}:\mathbb{K}[x] - \{0\} \longrightarrow\mathbb{N} \cup \{0\}

que a cada polinomio no nulo de \mathbb{K}[x] le asigna su grado.

Proposición[editar]

Si (D, +, \cdot, \theta, \nu ) es un dominio euclídeo, entonces D es un dominio de ideales principales. Además si I es un ideal de D, existe un h en D tal que  I = Dh . [2]

Referencias[editar]

  1. Kostrikin «Introducción al álgebra» Editorial Mir, Moscú
  2. Sigler. Op. cit.

Bibliografía[editar]

  • L. E. Sigler «Álgebra» Editorial Reverté S.A. Barcelona (1981) ISBN 84-291-5129-X
  • L.H. Jacy Monteiro, «Elementos de Algebra, Elemento de Matemática», IMPA (1969).

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]