Ideal principal

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En matemáticas, más particularmente dentro de la teoría de anillos, un ideal principal es un ideal generado por un único elemento.


Si R es un anillo conmutativo y a es un elemento de R, el ideal principal generado por a es el conjunto

(a) = \{ ra : r\in R \}.

Al ideal (a) también se le suele denotar como Ra.

La verificación de que dicho conjunto es un ideal procede como sigue:

  • Si ra, sa son dos elementos de (a), entonces ra + sa también lo es puesto que ra+sa = (r+s)a.
  • Si ra es un elemento de (a) y s es un elemento arbitrario del anillo, s(ra) = (rs) a y por tanto s(ra) también pertenece a (a).
  • El elemento cero pertenece al conjunto (a) puesto que 0=0a.

Cuando el anillo no es conmutativo, es necesario hacer diferencias entre ideales izquierdos y derechos.

Si R es un anillo y a es un elemento de R, el ideal principal izquierdo generado por a es el conjunto

Ra = \{ ra : r\in R \},

mientras que el ideal principal derecho generado por a es el conjunto

aR = \{ ar : r\in R \}.

En el caso de anillos conmutativos, los conceptos de ideal izquierdo y derecho son equivalentes.

Ejemplos[editar]

Consideremos el anillo (matemáticas) R. Entonces el conjunto de todos los múltiplos de 3 es el ideal principal generado por 3, puesto que un entero n es múltiplo de 3 precisamente cuando existe un número entero k tal que n=k\cdot 3.

Un ideal no tiene por qué ser siempre principal. Por ejemplo, sea \mathrm A=\mathbb Z^2 un anillo commutativo, entonces \mathrm I_1 = 2 \mathbb Z \times \left \{ 0 \right \} e \mathrm I_2 = \left \{ 0 \right \} \times 2 \mathbb Z son ideales principales de \mathrm A. Ahora bien, \mathrm I = \mathrm I_1 + \mathrm I_2 también es un ideal, aunque éste no es principal.

Véase también[editar]