Grado (polinomio)

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En álgebra grado de un polinomio es el grado máximo de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen. Grado tiene básicamente el mismo significado cuando se refiere a un polinomio o a una ecuación algebraica.

Grado de un polinomio[editar]

Dado un polinomio P en una cierta variable x, su grado es el máximo de los exponentes de x en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como \mathrm{gr}[P(x)], y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión. Ejemplo:

P(x)=x^5+4x^3-x^7+x+6x^2-5 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{gr}(P)=7 \quad [=\mathrm{gr}(-x^7)]

"La misma definición se aplica en este caso pero solo cumpliendo las siguientes condiciones: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.

Ejemplo: Q(x,y,z)=2x^2yz+4x^3y^2-z+7x+6y^2z^4-5 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{gr}(Q)=6 \quad [=\mathrm{gr}(6y^2z^4)]

Las definiciones anteriores no se aplican directamente a polinomios en los que no aparecen explícitamente la variable. Si un polinomio es simplemente una constante numérica su grado se define como 0 (o \scriptstyle -\infty para el polinomio nulo):

P(x) = a_0 \in \mathbb{R} \Rightarrow \qquad
\begin{cases} a_0 = 0 &\mbox{gr}(P)=-\infty \\ a \ne 0 &\mbox{gr}(P)=0 \end{cases}

Esta última definición se hace así para mantener la coherencia en las siguientes propiedades del grado:

\mbox{gr}(P\cdot Q) = \mbox{gr}(P) + \mbox{gr}(Q), \qquad 
\mbox{gr}(P\pm Q) \le \max(\mbox{gr}(P), \mbox{gr}(Q))

Grado absoluto y relativo[editar]

El grado absoluto y el grado relativo son operaciones matemáticas realizadas sobre un término de un polinomio.

Ambas devuelven un número natural.

Grado absoluto[editar]

Se obtiene con la suma de los exponentes de todas las variables.

Ejemplo, dado el término \scriptstyle 23\, a^2\, v^3 \, c^3 :

Grado absoluto es 3+3+2 = 8.

Grado relativo[editar]

Grado relativo es el valor del exponente relativo a cada variable.

Ejemplo, dado el término 7a2b4c7 :

Grado a: 2 ; Grado b: 4 ; Grado c: 7

por ejemplo tenemos estas dos opciones[editar]

Ecuaciones con una sola incógnita[editar]

Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: 2x^3 + 6x-4 = 1-x^2 es una ecuación algebraica de grado tres, que lleva la x al Cubo. El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita.

Ecuaciones con varias incógnitas[editar]

Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, xy es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas x e y, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada). Otro ejemplo de monomio sería -\frac{7}{3}x^3y^2z^6. Aquí las incógnitas son x, y, z, se multiplican así: la x se multiplica tres veces a sí misma (porque x^3 = x \cdot x \cdot x), la y se multiplica dos veces a sí misma, la z se multiplica seis veces a sí misma, y los tres resultados se multiplican entre sí. Finalmente se multiplica todo por el número -\frac{7}{3}.

Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio. Por ejemplo, el grado del monomio xy es 2, porque es la suma del exponente de x (que es 1, porque x = x^1) y del exponente de y (que también es 1). El grado del monomio \frac{7}{3}x^3y^2z^6 es 11, que es la suma de 3 (exponente de x), 2 (exponente de y) y 6 (exponente de z). Nótese que el grado del monomio 5x^2 sería 2, o sea, sería el exponente de la incógnita, y que siempre podemos considerar que en un monomio aparecen todas las incógnitas que hay en la ecuación, con sólo considerar que están elevadas al exponente 0. Por ejemplo, en la ecuación xy -13y^3=4 los monomios son xy (aparecen las dos incógnitas de la ecuación, y su grado es 2), -13y^3 (aparece sólo la incógnita y, pero podemos considerar que aparece también x con exponente 0, puesto que x^0=1) y 4 (no aparecen ni x ni y, pero podemos considerar que aparecen como x^0y^0). Así, podemos ver la ecuación como xy -13x^0y^3 = 4x^0y^0. Esto no cambia el grado de ninguno de los monomios. El monomio 4 tiene entonces grado 0.

Ahora estamos en condiciones de calcular el grado de una ecuación de varias incógnitas. Este es el mayor de los grados de todos los monomios que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación xy -13y^3=4 el grado es 3, que el el grado más grande entre los grados de todos los monomios de la ecuación (que son 2, 3 y 0).

Es fácil ver que el grado de una ecuación con una incógnita no es otra cosa que un caso particular del grado de una ecuación con varias incógnitas.3

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]