Ecuación algebraica

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Una ecuación algebraica en definida sobre cuerpo dado es una ecuación de la forma:

P = 0 \,

donde P\, es un polinomio en ese cuerpo (posiblemente con varias variables). Por ejemplo:

P = x^2 + 3xy - 4y^2 + 1 = 0 \,

es una ecuación algebraica de segundo grado y dos variables sobre el cuerpo de los números racionales.

Polinomio algebraico[editar]

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo. En el caso más simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el cuerpo es \mathbb{Q}, el cuerpo de los números racionales, en este caso los polinomios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3

es un polinomio algebraico en los racionales.

Conversión de coeficientes[editar]

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación de tercer grado:

-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3=0

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

-21x^3 + 2x^2 - 15x + 9 = 0. \,\!

La forma estándar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio:

x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0

Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones de una variable[editar]

Para ecuaciones algebraicas de una sola variable la solución es relativamente sencilla para los grados 1 y 2. Una solución de grado grado 1 (o ecuación de primer grado) siempre tiene solución sobre el cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}, así la ecuación:

ax+b

Siempre admite la solución x = -b/a que es un elemento de \scriptstyle \mathbb{K}. Una ecuación de segundo grado no siempre admite solución sobre \scriptstyle \mathbb{K} aunque si la admite sobre su clausura algebraica (si se trata de un cuerpo de característica nula), donde puede llegar a tener hasta dos soluciones dadas por:

x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \qquad
x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Puede ser que alguna de las soluciones anteriores, definibles sobre la clausura algebraica no son números del cuerpo \scriptstyle \mathbb{K}. Por ejemplo la ecuación:

x^2 - 2 = 0

No admite solución sobre \scriptstyle \mathbb{Q} pero sí la admite sobre su clausural algebraica y también sobre \scriptstyle \R (ya que contiene a la clausura algebraica de \scriptstyle \mathbb{Q}).

Para ecuaciones de 3 y 4 grado también pueden construirse las soluciones de la ecuación sobre la clausura algebraica de \scriptstyle \mathbb{K} mediante el método de los radicales. Esto fue anticipado por Gerolamo Cardano, Tartaglia y otros en el siglo XVI. Sin embargo para grado 5 o mayor, no tiene por qué existir una solución construible mediante le método de radicales (hecho probado por Évariste Galois, a principios del siglo XIX).

Ecuaciones trascendentes[editar]

La siguiente ecuación trascente es:

\tan(t) -t = 0

Ya que las funciones trigonométricas son trascendentes, de hecho la ecuación anterior tiene un número infinito de soluciones, entre ellas \scriptstyle 0,\ \pm4,493\dots,\ \pm7,725\dots,\ \pm10,90\dots,\ \pm14.06\dots . Un punto técnico, es que el que una ecuación sea considerada trascentes depende del cuerpo sobre el que se considere definida la ecuación. Considerando la ecuación

e^T x^2+\frac{1}{T}xy-5\sin(T)z -2 =0,

ésta no es una ecuación algebraica en cuatro variables (x, y, z y T) en el cuerpo de los números racionales debido a que el seno, la exponenciación y 1/T no son funciones polinomiales. En este caso se está tratando con ecuaciones trascendentes.[1] Sin embargo si es una ecuación algebraica en \mathbb{Q}((T)), el cuerpo de la serie formal de Laurent con T en los números racionales.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Chandra, Suresh (2003). Computer applications in physics with Fortran and Basic (en inglés). Ilustrada (2a edición). Alpha Science Int'l Ltd. p. 152. ISBN 9781842651643. Consultado el 11 de noviembre de 2011.