Ecuación algebraica

Una ecuación algebraica en un cuerpo dado es una ecuación de la forma

$P = 0 \,$

donde $P$ es un polinomio algebraico en ese cuerpo (posiblemente con varias variables). Por ejemplo:

$x^2 + 3xy - 4y^2 + 1 = 0 \,$

es una ecuación algebraica sobre el cuerpo de los números racionales.

Polinomio algebraico

En matemáticas, un polinomio algebraico en un cuerpo es un polinomio con coeficientes en ese cuerpo. En el caso más simple, lo que a menudo significa mientras no se especifique otro, el cuerpo es $\mathbb{Q}$, el cuerpo de los números racionales, en este caso los polimonios algebraicos son aquellos con coeficientes racionales. Por ejemplo:

$-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3$

es un polinomio algebraico en los racionales.

Conversión de coeficientes

Una ecuación algebraica en el cuerpo de los racionales siempre puede convertirse en una ecuación con coeficientes enteros. Por ejemplo, tomemos la ecuación:

$-7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3=0$

multiplicando por tres toda la ecuación tenemos:

$-21x^3 + 2x^2 - 15x + 9 = 0. \,\!$

La forma estandar de este tipo de ecuación, sin embargo, tiene un coeficiente unitario al principio. Si todos los otros coeficientes son enteros, entonces las raíces de la ecuación son enteros algebraicos.

Ecuaciones no algebraicas

Considerando la ecuación

$e^T x^2+\frac{1}{T}xy-5\sin(T)z -2 =0,$

ésta no es una ecuación algebraica en cuatro variables (x, y, z y T) en el cuerpo de los números racionales debido a que el seno, la exponenciación y 1/T no son funciones polinomiales. En este caso se está tratando con ecuaciones trascendentes. Sin embargo si es una equación algebraica en $\mathbb{Q}((T))$, el cuerpo de la serie formal de Laurent con $T$ en los números racionales.

Véase también

• Número algebraico
• Geometría algebraica
• Teoría de Galois

 

---