Potenciación

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.

Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

• Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

$a^n = \underbrace{a \times \cdots \times a}_n,$

Por ejemplo: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.

• Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}= \frac{1}{a^p}$

• Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}$

Cualquier número elevado al exponente 0 el resultado equivale a 1, excepto el caso particular de $0^0\,$ que, en principio, no está definido (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Propiedades de la potenciación

Potencia de exponente 0

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

$1 = \frac {a^n} {a^n} = a^{n-n} = a^0\,$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

$a^1 = a \,$

Ejemplo:

$54^1=54 \,$

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

$a^{-n} = a^{0-n} = \frac {a^0}{a^n} = \frac {1}{a^n}\,$

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos potencias que tienen la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes.

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}$

Ejemplos:

$9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5$

División de potencias de igual base

El cociente de dos potencias que tienen la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la diferencia de los exponentes

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$

Ejemplo:

$\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2$

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente

$(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

${(a^m)}^n = a^{m \cdot n}$

Debido a esto, la notación $a^{b^c}$ se reserva para significar $a^{(b^c)}$ ya que ${(a^b)}^c$ se puede escribir sencillamente como $a^{bc}\,$.

Propiedad distributiva

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los numeros elevado al mismo exponente.

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

$(a + b)^m \ \neq\ a^m + b^m$

$(a - b)^m \ \neq\ a^m - b^m$

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

$a^b \ \neq\ b^a$

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot c)}=a^{b c}$

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.

Ejemplos:

$\begin{align} 10^{-5}& =0,00001\\ 10^{-4}& =0,0001\\ 10^{-3}& =0,001\\ 10^{-2}& =0,01\\ 10^{-1}& =0,1\\ 10^0\;\;& =1\\ 10^1\;\;& =10\\ 10^2\;\;& =100\\ 10^3\;\;& =1.000\\ 10^4\;\;& =10.000\\ 10^5\;\;& =100.000\\ 10^6\;\;& =1.000.000 \end{align}$

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d \,$ se tiene la identidad:

$\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left( c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}$

Límites

Indeterminación 0⁰

El caso especial $0^0\,$ se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que $0^0\,$ es el igual al valor del límite

$\lim_{x\to 0^+} x^0$

y como x⁰ = 1 para $x \ne 0$, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

$\lim_{x\to 0^+} 0^x$

y como 0^x = 0 para $x \ne 0$, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma $0^0\,$ puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma $0^0\,$ tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que $0^0\,$=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los años 1830, Libri publicó un argumento para asignar 1 como valor de $0^0\,$ y August Möbius lo apoyó afirmando erróneamente que

$\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1\,$ siempre que $\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0.$

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

$f(t)^{g(t)}={(e^{-1/t})}^t$

cuyo límite cuando $t\to0^+$ es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que $0^0\,$ debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).

En la actualidad, suele considerarse la forma $0^0\,$ como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido.

Para calcular límites cuyo valor aparente es $0^0\,$ suele usarse la Regla de l'Hôpital.

Representación gráfica

Gráfico de $y = x^2 \,$.

Gráfico de $y = x^3 \,$.

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante y creciente en el primero.

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupa el tercer y primer cuadrante.

Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

Véase también

• Raíz cuadrada
• Radicación
• Fórmula de De Moivre (para potencias de números complejos)

Enlaces externos

• Potenciación en escolar.com
• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español