Productos notables

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Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

Factor común[editar]

Representación gráfica de la regla de factor común. Forma un gnomon.

El resultado de multiplicar un binomio  a+b por un término  c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

 c (a + b) = c a + c b \,

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

 c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas:  ca y  cb

Ejemplo:

 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

Cuadrado de un binomio[editar]

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

 (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
Demostración
(a+b)^2 = (a+b)\cdot(a+b) = (a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b  = a\cdot a + b \cdot a + a\cdot b + b \cdot b = a^2 + 2 \cdot a\cdot b + b^2

La expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

 (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
Demostración
(a-b)^2 = (a+(-b))^2 = a^2 + 2 \cdot a\cdot (-b) + (-b)^2 = a^2 - 2 \cdot a\cdot b + b^2

Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso b=-7 en (x-7)^2 induciendo en abundantes errores.

El caso (-a+b)^2 = ((-a)+ b)^2 = a^2 - 2 \cdot a\cdot b + b^2.

Finalmente (-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (a+b)^2.

Ejemplo:

(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \,

Simplificando:

(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,

Producto de binomios con término común[editar]

Dos binomios con un término común[editar]

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.

Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

(x+a)(x+b) = x^2+( a + b )x + a b \,
Demostración
 (x+a)\cdot (x+a) = (x+a)x+(x+a)a = (x\cdot x+a\cdot x)+(x\cdot a+a\cdot x)= x\cdot x+a\cdot x+x\cdot a+a\cdot x=  x^2 + (a+b)x + a\cdot b

Ejemplo:

(x+4)(x-7) = x^2 -3x -28 \,
(2y-1)(2y-3) = (2y)^2 +(-1-3)(2y)+ ((-1)(-3)) = 4y^2 -8 y +3

Tres binomios con término común[editar]

Fórmula general:

(x + a) (x +b) (x + c) = x^3 + (a + b + c) x^2 + (ab+ca+cb)x +abc

n binomios con término común[editar]

Fórmula general:

(x+a_1)\cdot \dots \cdot (x+a_n)= x^n + (a_1+\dots +a_n) x^{n-1}+( (a_1 a_2 + a_1 a_3+\dots a_1 a_n)+(a_2 a_3 +\dots +a_2 a_n)+\dots +(a_{n-1} a_n))x^{n-2}+\dots (a_1\cdot \dots \cdot a_n)

xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos)

Producto de dos binomios conjugados[editar]

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

 (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,

Ejemplo:

(3x+5y)(3x-5y) =  \,
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,

Agrupando términos:

(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Cuadrado de un polinomio[editar]

Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+  2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,

Ejemplo:

 (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,

Multiplicando los monomios:

 (3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
 + 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
 + (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,

Agrupando términos:

(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,

Luego:

(3x+2y-5z)^2  = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,

Cubo de un binomio[editar]

Descomposición volumétrica del binomio al cubo.

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

  • El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  • El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  • El cubo del segundo término.
(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,

Identidades de Cauchy:

(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,

Ejemplo:

(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,

Agrupando términos:

(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

  • El cubo del primer término.
  • Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  • Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  • Menos el cubo del segundo término.
(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,

Identidades de Cauchy:

(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,

Ejemplo:

(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,

Agrupando términos:

(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,

Identidad de Argand[editar]

(x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 \,

Identidades de Gauss[editar]

a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \,
a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] \,

Identidades de Legendre[editar]

(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) \,
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab \,
(a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) \,

Identidades de Lagrange[editar]

(a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 \,
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 \,

Otras identidades[editar]

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:

Adición de cubos:

 a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \,

Diferencia de cubos:

 a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \,

Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).

 (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 \,
 (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 \,

La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xn).

Suma de potencias enésimas:

Si -sólo si- n es impar,  a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -\cdots + b^{n-1}) \,

Diferencia de potencias enésimas:

 a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +\cdots + b^{n-1}) \,

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.

Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe una fórmula [cita requerida] ingeniosa:

a^3 = \left(\frac{(a+1)a}{2}\right)^2 - \left(\frac{(a-1)a}{2}\right)^2

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co.. ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. pp. 456. ISBN.