Identidad de Lagrange

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La identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:

Para cualesquiera números a_1, a_2, b_1, b_2 se cumple:

(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=(a_1b_1+a_2b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2

La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.

Si a_1, a_2, \ldots, a_n y b_1, b_2, \ldots,b_n son números (reales o complejos) entonces

\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right) = \left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2+\sum_{1\le i< j\le n} (a_ib_j-a_jb_i)^2

En anillos conmutativos[editar]

La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no sólo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.

Prueba mediante desarrollo algebraico
Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado:

\left(\sum_{k=1}^n x_k \right)^2 = \sum_{k=1}^n x_k^2 + \sum_{1\le i<j \le n} 2x_ix_j

sustituyendo x_k por a_kb_k:

\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2b_k^2 + \sum_{1\le i<j\le n} 2a_ib_ja_jb_i

Por otro lado, del binomio al cuadrado (a_ib_j - a_jb_i)^2 = a_i^2b_j^2 -2a_ib_ja_jb_i+ a_j^2b_i^2 podemos despejar

2a_ib_ja_jb_i = a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2 - (a_ib_j-a_jb_i)^2

y sustituyendo en la suma previa resulta en

\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2 = \sum_{k=1}^n a_k^2b_k^2 + \sum_{1\le i<j\le n}(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) - \sum_{1\le i<j\le n}(a_ib_j - a_jb_i)^2

Pero \sum_{k=1}^n a_k^2b_k^2 + \sum_{1\le i<j\le n}(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) es la suma de todos los términos de la forma a^2b^2 para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como

\sum_{k=1}^n a_k^2b_k^2 + \sum_{1\le i<j\le n}(a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2)=\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)

Haciendo la sustitución arroja finalmente

\left(\sum_{k=1}^n a_kb_k\right)^2 = \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right) - \sum_{1\le i<j\le n}(a_ib_j - a_jb_i)^2

equivalente a la identidad que queremos demostrar.

Interpretación vectorial[editar]

Si consideramos los números a_1,a_2, \ldots, a_n y b_1,b_2,\ldots, b_n como componentes de vectores en \mathbb{R}^n:

\mathbf{a}=(a_1,a_2,\ldots, a_n),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_n),

entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto punto, pues

\Vert\mathbf{a}\Vert= \left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right),\qquad \Vert\mathbf{b}\Vert= \left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)

y

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{k=1}^n a_kb_k

de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:

Si \mathbf{a}=(a_1,a_2,\ldots, a_n),  \mathbf{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_n) son dos vectores de \mathbb{R}^n, entonces

\Vert\mathbf{a}\Vert^2 \Vert\mathbf{b}\Vert^2 = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 + \sum_{1\le i< j\le n} (a_ib_j-a_jb_i)^2

Sin embargo, cuando n=3, la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto cruz de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:

Si \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3) son dos vectores de \mathbb{R}^3, entonces

\Vert\mathbf{a}\Vert^2 \Vert\mathbf{b}\Vert^2 = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2 + |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|^2

Bibliografía[editar]