Binomio

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En álgebra, un binomio consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.

Ejemplos[editar]

a+b
3\tan^2\phi-\frac{b^2}{e^{i\pi \theta}} puede llamarse "binomio de razones trigonométricas".
 a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2

Operaciones sobre binomios[editar]

Factor común[editar]

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la adición respecto de la multiplicación:


   c (a + b) = c a + c b

o realizando la operación:


   \begin{array}{rrr}
               &  a & +b \\
      \times   &    &  c \\
      \hline
               & ca & +cb 
   \end{array}

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

 3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy

Suma por diferencia[editar]

El binomio  a^2 - b^2 puede factorizarse como el producto de dos binomios:

 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) .

Demostración:


   \begin{array}{rrr}
               &    a & +b   \\
      \times   &    a & -b   \\
      \hline
               &  -ab & -b^2 \\
           a^2 &  +ab &      \\
      \hline
           a^2 &      & -b^2
   \end{array}

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula:  a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}.

Producto de dos binomios lineales[editar]

El producto de un par de binomios lineales (ax+b) y (cx+d) es:

 (ax+b)(cx+d) = acx^2 + axd + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd .

Potencia de un binomio[editar]

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe : (a + b)^n , y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: (p+q)^2

Cuadrado de un binomio[editar]

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:


   (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a^2 + 2 a b + b^2 .

La operación se efectúa del siguiente modo:


   \begin{array}{rrr}
               &    a & +b   \\
      \times   &    a & +b   \\
      \hline
               &  +ab & +b^2 \\
           a^2 &  +ab &      \\
      \hline
           a^2 & +2ab & +b^2
   \end{array}

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma a^2 + 2 a b + b^2, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:


   (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a^2 - 2 a b + b^2


   \begin{array}{rrr}
               &    a & -b   \\
      \times   &    a & -b   \\
      \hline
               &  -ab & +b^2 \\
           a^2 &  -ab &      \\
      \hline
           a^2 & -2ab & +b^2
   \end{array}

Ejemplo:


  (2x - 3y)^2 =
  (2x)^2 + 2(2x)(-3y)+ (-3y)^2  =
  4x^2 -12xy +9y^2

Aplicación en el cálculo diferencial[editar]

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática y=x^2, se desarrolla el binomio {(x+h)}^2 = x^2+2xh+h^2. El coeficiente del término en h que es 2x es la derivada de x^2. Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de h, el término lineal es 2xh.

Igualmente, para y=x^3 se desarrolla (x+h)^3. En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de h es 3x^2, que es la derivada de x^3.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]