Binomio

En álgebra, un binomio es un polinomio que consta únicamente de dos términos, separados por un signo de más (+) o de menos (-). En otras palabras, es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios.

Ejemplos

$a+b\$

$\qquad 3\tan^2\phi-\frac{b^2}{e^{i\pi \theta}}\qquad$ puede llamarse "binomio de razones trigonométricas".

$a^2b^5c^2d-b^3c^9d^2\$

Operaciones sobre binomios

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la adición respecto de la multiplicación:

$c (a + b) = c a + c b \,$

o realizando la operación:

$\begin{array}{rrr} & a & +b \\ \times & & c \\ \hline & ca & +cb \end{array}$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca y cb).

Ejemplo:

$3x (4x-6y) = (3x)(4x) + (3x)(-6y) = 12x^2 - 18xy \,$

Suma por diferencia

El binomio $a^2 - b^2\$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\$.

Demostración:

$\begin{array}{rrr} & a & +b \\ \times & a & -b \\ \hline & -ab & -b^2 \\ a^2 & +ab & \\ \hline a^2 & & -b^2 \end{array}$

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: $a^{n+1} - b^{n+1} = (a - b)\sum_{k=0}^{n} a^{k}\,b^{n-k}$.

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales $(ax+b)\$ y $(cx+d)\$ es:

$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + axd + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd\$.

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe :$(a + b)^n\$, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: $(p+q)^2\$

Cuadrado de un binomio

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

$(a + b)^2 = (a + b) \times (a + b) \$.

La operación se efectúa del siguiente modo:

$\begin{array}{rrr} & a & +b \\ \times & a & +b \\ \hline & +ab & +b^2 \\ a^2 & +ab & \\ \hline a^2 & +2ab & +b^2 \end{array}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados cada término con el doble producto de los mismos. Es decir:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la forma $a^2 + 2 a b + b^2 \,$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

$(a - b)^2 = (a - b) (a - b) \,$

la operación da por resultado:

$\begin{array}{rrr} & a & -b \\ \times & a & -b \\ \hline & -ab & +b^2 \\ a^2 & -ab & \\ \hline a^2 & -2ab & +b^2 \end{array}$

esto es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y)+ (-3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función y = x², se desarrolla el binomio (x + h)² = x² + 2xh + h². El coeficiente del término en h que es 2x viene a ser la derivada de x². Observe que si vemos el trinomio del desarrollo como dependiente de h el término lineal es h.

Igualmente, para y = x³ se desarrolla (x + y)³. En el cuatrinomio, se ve el coeficiente de h es 3x², que viene a ser la derivada de x³.

Véase también

• Teorema del binomio
• Monomio
• Trinomio
• Polinomio
• Factorización
• Productos notables

Referencias

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Binomial» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weisstein, Eric W. «Binomial» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co. ed. Elementos de Álgebra (2a edición). Boston, USA. pp. 456. ISBN. 

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones para binomio.Wikcionario