Función cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

en donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral una función cúbica.

Raíces

Las raíces o ceros de la función cuadrática:

$f(x) = ax^2+bx+c\,$

son los valores de x, x₁ y x₂, para los que f(x) = 0.

Vienen dados según el valor del discriminante Δ definido como $\Delta = b^2 - 4 a c \, .$:

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$.

• Una solución real doble si el discriminante es cero

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

• Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

Forma factorizada

Toda función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

se puede factorizar como:

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,$

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de x² sería siempre 1. x₁ y x₂ representan las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x₁ = x₂ por lo que podríamos escribir:

$f(x) = a(x - x_1)^2 \,$

En este caso a x₁ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

• Dado:

$f(x) = ax^2 + bx + c \,$

• Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

$f(x) = a \left ( x^2 + \frac{b}{a} x \right ) + c \,$

• Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

$f(x) = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{b^2}{4 a^2} \right ) + c - \frac{b^2}{4 a}$

• Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

$f(x) = a \left (x + \frac{b}{2a} \right )^2 + c - \frac{b^2}{4a}$

• sustituyendo:

$h = \frac{-b}{2a},\ k = c - \frac{b^2}{4a}$

• la expresión queda:

$f(x) = a (x - h)^2 + k \,$

Representación gráfica

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,$

lo que resulta:

$y = f(0) = c \,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

$y = ax^2 + bx + c \,$

tendremos que:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad ax^2 + bx + c = 0 \,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

donde:

$b^2 - 4 a c \,$

se le llama discriminante, Δ:

$\Delta = b^2 - 4 a c \,$

según el signo del discriminante podemos distinguir:

Discriminante positivo

Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, y por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x₁ y x₂.

Veamos por ejemplo la función:

$y = -x^2 + 4x + 5 \,$

que cortara el eje x cuando:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad -x^2 + 4x + 5 = 0 \,$

que tendrá por solución general:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$

en este caso:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 (-1) 5}}{2 (-1)}$

que resulta:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-2}$

Para esta ecuación el discriminante tiene valor positivo:

$\Delta = 16 + 20 = 36 \,$

y por tanto tiene dos soluciones:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{-2} \quad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{-2}$

operando:

$x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{-2}$

$x_1 = \frac{2}{-2} \quad x_2 = \frac{-10}{-2}$

$x_1 = -1 \quad x_2 = 5$

Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la figura.

Discriminante nulo

Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x₁, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

si la función cuadrática:

$y = -x^2 + 4x - 4 \,$

que cortara al eje de las x si:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad -x^2 + 4x - 4 = 0 \,$

su solución será:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 (-1) (-4)}}{2 (-1)}$

Operando los valores, tendremos:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 16}}{-2} \quad x = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{-2}$

La raíz de cero es cero, luego el discriminante en este caso vale cero, y habrá una única solución:

$x_1 = x_2 = \frac{-4}{-2} = \frac{4}{2} = 2$

El punto de corte de la función con el eje de las x es (2,0), que en este caso es tangencial de la función con el eje, ver figura.

Discriminante negativo

Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Si tenemos la función siguiente:

$y = - x^2 - 4x - 6 \,$

que corta el eje x cuando:

$y = 0 \quad \longmapsto \quad - x^2 - 4x - 6 = 0 \,$

para encontrar su solución haremos:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \quad x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 (-1) (-6)}}{2 (-1)}$

Haciendo las operaciones, tendremos:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} \quad x = \frac{4 \pm \sqrt{-8}}{2}$

Al no existir ningún número real que sea la raíz de –8, no se puede continuar haciendo las operaciones, por lo que podemos decir que esta función no tiene corte con el eje x, como se ve en la figura.

Si tenemos en cuenta la existencia de los números imaginarios, podemos realizar las siguientes operaciones:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8(-1)}}{2} \quad x = \frac{4 \pm \sqrt{8} \, \sqrt{-1}}{2} \quad x = \frac{4 \pm \sqrt{8} \; i }{2}$

Continuando con las operaciones:

$x = \frac{4}{2} \pm \frac{\sqrt{8} \; i}{2} \quad x = \frac{4}{2} \pm \sqrt{\frac{8}{4}} \; i \quad x = 2 \pm \sqrt{2} \; i$

dando como solución:

$x_1 = 2 + \sqrt{2} \; i$

$x_2 = 2 - \sqrt{2} \; i$

Dado el plano cartesiano xy, real, la parábola vista no corta el eje real x en ningún punto, esa misma ecuación estudiada dentro de los números complejos presenta dos soluciones, cumpliéndose de este modo el Teorema fundamental del álgebra.

A la/s intersección/es de la gráfica de la función con el eje x se las llama ceros o raíces de la función

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula

$x = \frac{-b}{2a}$.

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrará el valor máximo o mínimo relativo de la función; cuando a sea positivo la parábola tendrá concavidad hacia arriba, siendo un punto mínimo; si a es negativo la concavidad es hacia abajo por lo tanto su valor es máximo. Otra manera de hallar el vértice seria utilizando la formula canónica

$f(x)=a (x-h)^2+k \,$

En esta fórmula h es la coordenada x del vértice y k es la coordenada y del vértice. Cuando a<0,

$a(x-h)^2 \leq 0 \,$

entonces k es el valor máximo, dado que para hallar f(x) a k hay que sumarle un número negativo, salvo cuando x=h, en ese caso f(x)=k. Análogamente , si a>0 , k es el valor mínimo y se alcanza cuando x=h

Determinar la ecuación conocidos tres puntos

Partiendo de la forma de la ecuación:

$y = ax^2 +bx +c \,$

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

$(x_1,y_1), \; (x_2,y_2), \; (x_3,y_3)$

se cumplira que:

$\left \{ \begin{matrix} y_1 = ax_{1}^2 +bx_1 +c \\ y_2 = ax_{2}^2 +bx_2 +c \\ y_3 = ax_{3}^2 +bx_3 +c \end{matrix} \right .$

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

$\left \{ \begin{matrix} ax_{1}^2 +bx_1 +c = y_1 \\ ax_{2}^2 +bx_2 +c = y_2 \\ ax_{3}^2 +bx_3 +c = y_3 \end{matrix} \right .$

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

$a = \cfrac{ \left | \begin{matrix} y_1 & x_1 & 1 \\ y_2 & x_2 & 1 \\ y_3 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & 1 \\ x_{2}^2 & x_2 & 1 \\ x_{3}^2 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }$

$, \quad b = \cfrac{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & y_1 & 1 \\ x_{2}^2 & y_2 & 1 \\ x_{3}^2 & y_3 & 1 \end{matrix} \right | }{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & 1 \\ x_{2}^2 & x_2 & 1 \\ x_{3}^2 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }$

$, \quad c = \cfrac{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & y_1 \\ x_{2}^2 & x_2 & y_2 \\ x_{3}^2 & x_3 & y_3 \end{matrix} \right | }{ \left | \begin{matrix} x_{1}^2 & x_1 & 1 \\ x_{2}^2 & x_2 & 1 \\ x_{3}^2 & x_3 & 1 \end{matrix} \right | }$

Bibliografía

1. Grupo Epsilon, ed (9 de 1994) (en español). Estudio de funciones : la función cuadrática (1 edición). Fundación Bancaja. ISBN 978-84-88715-06-7. 
2. Gallego Palomero (7 de 1989) (en español). Función cuadrática (1 edición). Ediciones SM. ISBN 978-84-348-2869-8. 

Véase también

• Ecuación cuadrática
• Polinomio
• Funciones matemáticas
• Geometría analítica
• Pendiente de una recta
• Parábola
• Movimiento parabólico

Enlaces externos

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