Función cuadrática

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Función cuadrática
Parábolas verticales.svg
Gráfica de Función cuadrática
Definición  f(x) = ax^2 + bx + c \,
Tipo Curva parabólica
Dominio \mathbb{R}
Imagen  [-\frac{b}{2a},+\infty) o (-\infty ,-\frac{b}{2a} ]
Cálculo infinitesimal
Derivada  f'(x) = 2ax + b \,

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida por:

 y = ax^2 + bx + c \,

con a \ne 0.[1]

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas.

Raíces[editar]

Las raíces (o ceros)de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales  f(x) = 0 \ . Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrán 2 raíces distintas, una raíz doble o ninguna en el sentido de valores reales.Son denotadas habitualmente como: x_1 y x_2, dependiendo del valor del discriminante Δ definido como \Delta = b^2 - 4 a c \  .

  • Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}.
    • Corta la parábola al eje X en dos puntos diferentes.
  • Una solución real doble si el discriminante es cero:
-\frac{b}{2a} . \,\!
    • La parábola es tangente al eje X.
  • Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:
 \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},
    • La parábola no corta al eje X.

Representación analítica[editar]

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

Forma desarrollada[editar]

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

 f(x) = ax^2 + bx + c \,

con a \neq 0.

Forma factorizada[editar]

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces como:

 f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \,

siendo a el coeficiente principal de la función, y x_1 y x_2 las raíces de f(x). En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces x_1 = x_2 por lo que la factorización adquiere la forma:

 f(x) = a(x - x_1)^2 \,

En este caso a x_1 se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas, no cabe la factorización.[2]

Forma canónica[editar]

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

 f(x) = a (x - h)^2 + k \,

siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola.

Representación gráfica[editar]

Intersección con el eje y[editar]

Función cuadrática 03.svg

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

 y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \,

lo que resulta:

 y = f(0) = c \,

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen, ya que se da en los términos.

Intersección con el eje x[editar]

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función

 y = ax^2 + bx + c \,

es decir:


   y = 0
   \quad \longmapsto \quad
   ax^2 + bx + c = 0 \,

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

 x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} .

Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).

Extremo[editar]

Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo.

Dada la función en su forma desarrollada: f(x) = ax^2+bx+c\,, la coordenada x del vértice será simplemente:  x = \frac{-b}{2a} . La coordenada y del vértice corresponde a la función f evaluada en ese punto.

Dada la forma canónica:  f(x)=a (x-h)^2+k \,, las coordenadas explícitas del vértice son: (h,k)

la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

 y = ax^2 + bx + c \,

calculamos su derivada respecto a x:

 \frac{dy}{dx} ax^2 + bx + c = 2ax + b

que si la igualamos a cero, tenemos:

 2ax + b = 0 \,

donde x valdrá:

Para saber si es un máximo o un mínimo es necesario ver la derivada segunda de la función, veamos:


   \frac{d^2y}{dx^2} \; ax^2 + bx + c =
   \frac{dy}{dx} \; 2ax + b =
   2a

esto es: 2a sera positivo cuando a sea positivo y negativo si a es negativo, por tanto, si la derivada segunda 2a es positiva la parábola es cóncava y el punto será un mínimo de la función, si a es negativa la parábola será convexa y sea un máximo.

Ejemplo 1[editar]

Función cuadrática 04.svg

Dada la función:

 x = x^23 - y - 23 \,

De la figura, calcularemos su derivada primera:


    \frac{dy}{dx} \; x^23 - x - 23 =
    23x - 1

Esta derivada valdrá cero:

 \frac{dy}{dx} = 0

cuando:

 23x - 1 = 0 \,

esto es:

 23x = 1 \,
 x = \cfrac{1}{23}

Esta función presenta un extremo relativo para  x = \frac{1}{23} , veamos si es un máximo o un mínimo, calculando la derivada segunda:


    \frac{d^2y}{dx^2} \; x^2 - x - 2 =
    \frac{dy}{dx} \; 2x - 1 =
    2

Que es 2, dado que 2 es un valor positivo, la función es concava, y el extremo relativo que presente para:  x = \cfrac{1}{2} , es un mínimo. El valor de la derivada segunda de una función de segundo grado es el coeficiente de  y = x^2 , por lo que a la vista de la ecuación, podíamos adelantar que seria mínimo sin calcular la derivada segunda.

Ejemplo 2[editar]

Función cuadrática 11.svg

Dada la función:

 y = x2/2+3x-1/3 \,

Para calcular sus extremos relativos calcularemos su derivada primera:


    \frac{dy}{dx} \; -x^2 + 4x + 5 =
    -2x + 4

Esta derivada valdrá cero cuando:

 -2x + 4 = 0 \,

esto es:

 2x = 4 \,

que resulta:

 x = 2 \,

Para  x = 2 , la función presenta un extremo relativo, como sabemos que el coeficiente de  x^2 , es negativo es un máximo. Si realizamos el estudio de signo de la derivada primera, nos da que en  x = 2 pasa de ser positivo a negativo, o sea la función cambia de ser creciente a decreciente, por lo que confirmamos que es un máximo. De otra forma; se puede calcular la derivada segunda en este punto, comprobando si la función es cóncava o convexa.

Otros procedimientos[editar]

  • Si es posible factorizar en la forma  y = a(x - x_1)(x - x_2) \,, se halla el máximo del producto de los dos factores binómicos, teniendo en cuenta que

tal caso ocurre si los factores son iguales, luego haciendo  x -x_1 = x - x_ 2 \, se obtiene  x = (x_1 + x_2)/ 2 \, o bien  x = -b/2a \,.[3] El signo de a determina si es mínimo o máximo.

  • La forma canónica se puede escribir como  1/af(x) =  (x - h)^2 + k/a \, , donde el segundo término conlleva un cuadrado, que es ≥ 0; pero en el segundo miembro si k/a es positivo, hay mínimo con x = h; si k/a es negativo, se obtiene un máximo si x = h.[4] Todo ello para la función g(x)= 1/af(x).

Presencia[editar]

En cinemática

en la ecuación del espacio en caso del movimiento uniforme acelerado: f(x) = a t^2 + v_0t + e_0 \, , donde a aceleración,  v_0\, , velocidad inicial,  e_0 \, espacio inicial y t, variable del tiempo.,[5]

En geometría
  • En el área total de un cilindro, como función del radio de la base; de l modo en el área total del cono, en función del radio.
  • En el área total de un prisma cuadrado, función del lado de la base, altura constante, lo mismo para la pirámide cuadrada.[6]

Presencia histórica[editar]

Arquímedes calculó el área de un sector parabólico, limitado por un rectángulo, en términos modernos según la función  x= f(y) = y^2  \,.[7]

Determinar la ecuación conocidos tres puntos[editar]

Función cuadrática 03.svg

Partiendo de la forma de la ecuación:

y = ax^2 +bx +c \,

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

 (x_1,y_1), \; (x_2,y_2), \; (x_3,y_3)

se cumplirá que:


   \left \{
      \begin{matrix} 
         y_1 = ax_{1}^2 +bx_1 +c \\
         y_2 = ax_{2}^2 +bx_2 +c \\
         y_3 = ax_{3}^2 +bx_3 +c
      \end{matrix} 
   \right .

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:


   \left \{
      \begin{matrix} 
         ax_{1}^2 +bx_1 +c = y_1 \\
         ax_{2}^2 +bx_2 +c = y_2 \\
         ax_{3}^2 +bx_3 +c = y_3
      \end{matrix} 
   \right .

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:


   a =
   \cfrac{
      \left |
         \begin{matrix} 
            y_1 & x_1 & 1 \\
            y_2 & x_2 & 1 \\
            y_3 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }{
    \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }

   , \quad
   b =
   \cfrac{
      \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & y_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & y_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & y_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }{
    \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }

   , \quad 
   c =
   \cfrac{
      \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & y_1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & y_2 \\
            x_{3}^2 & x_3 & y_3
         \end{matrix} 
      \right |
   }{
    \left |
         \begin{matrix} 
            x_{1}^2 & x_1 & 1 \\
            x_{2}^2 & x_2 & 1 \\
            x_{3}^2 & x_3 & 1
         \end{matrix} 
      \right |
   }

Referencias[editar]

  1. Lehmann: Álgebra, Limusa Wiley, Máxico D-F.
  2. No tiene sentido la presencia de complejos, se trata de función real de variable real
  3. Bruño: Álgebra superior, edición española
  4. G.M. Bruño ibídem
  5. UCH. Física general, Lima (2005)
  6. Fórmulario de matemáticas de Schaumm, Mc Graw Hill
  7. Apostol, Tom. Calculus

Bibliografía[editar]

  1. Grupo Epsilon, ed. (9 de 1994). Estudio de funciones: la función cuadrática (1 edición). Fundación Bancaja. ISBN 978-84-88715-06-7. 
  2. Gallego Palomero (7 de 1989). Función cuadrática (1 edición). Ediciones SM. ISBN 978-84-348-2869-8. 

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

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