Triángulo de Pascal

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Triángulo de Pascal
Triángulo de Pascal.svg
Triángulo de Pascal para n=10.
Yanghui triangle.gif
Triángulo aritmético chino.
PascalTriangleAnimated2.gif
Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de él.
Triángulo de Pascal colores.png
Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen igual valor, debido a la propiedad de simetría \scriptstyle {n\choose {n-p}} = {n\choose p} . Los casillas exteriores, (en azul) tienen valor nulo y las casillas en violeta proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.
TrianguloPascal.jpg
Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal.
Partición de un conjunto.png
Ejemplo combinacional de coeficiente trinomial.
Pirámide de Pascal.png
Pirámide de Pascal. Se han dibujado las primeras secciones a partir de la cumbre.

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.[1] Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.[2]

La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada Regla de Pascal). Si (x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k} entonces  {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.[3]

El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal.

Historia[editar]

La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscrito escrito por Pingala alrededor del año 200 a.C.[4]

Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas Al-Karaji (953–1029)[5] y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluyendo el teorema del binomio.

En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.[6] [7] [8] [9]

Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung[10] (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia, se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567)[11] y François Viète (1540-1603).

En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y admitidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio. Fue bautizado Triángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que se convirtió en el nombre occidental moderno.[12]

Construcción del triángulo de Pascal[editar]

El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que \scriptstyle {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k} para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que \scriptstyle {4 \choose 1} = {3 \choose 0} + {3 \choose 1}, para la cifra 6 se cumple \scriptstyle {4 \choose 2} = {3 \choose 1} + {3 \choose 2} y para la última cifra 4 \scriptstyle {4 \choose 3} = {3 \choose 2} + {3 \choose 3}; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.

Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial de la potencia de una suma

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2+ b^3 \quad
\dots

Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton[editar]

La expresión que proporciona las potencias de una suma (a+b)^n\; se denomina binomio de Newton.

(1)(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k\quad\qquad \quad \text{para todo} \quad 0 \le k \le n; \quad\ n,k \in \mathbb {N}

En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios, de manera que la relación con el triángulo de Pascal es la siguiente:

Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.

Se puede generalizar este resultado para cualquier valor de nN por inducción matemática.

Propiedades del triángulo de Pascal[editar]

Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas. Concretamente, el número en la línea n y la columna p corresponde a n \choose p, o también denotado como \bold C_n^p (\bold C por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor:

  • Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario del mismo, debido a que {n\choose {n-p}} = {n\choose p}.
  • Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto que  {n\choose p} = 0 cuando p > n.
  • Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los coeficientes binomiales  {n\choose p} + {n\choose {p+1}} = {{n+1}\choose {p+1}}.

Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es una potencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)n = 2n es

 {n \choose 0} + {n \choose 1} + \cdots +{n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n,

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

Otras representaciones del triángulo[editar]

La ilustración al comienzo del artículo muestra el triángulo de Pascal dibujado como un triángulo equilátero. Es posible «enderezarlo» de tal forma que su dibujo quede como un triángulo rectángulo. De esta forma, a la izquierda queda una columna de números «1». La siguiente columna deja un lugar vacío en la primera fila y sigue con la sucesión de números naturales: 1, 2, 3, 4, ..., n, .... La tercera columna deja dos filas vacías y comienza con la sucesión matemática de los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, .... Dibujado de esta manera es fácil ver que:

  • Cada número en una columna cualquiera es igual a la suma parcial de los elementos de la columna anterior (a la izquierda) hasta la fila anterior en orden descendente.
  • La tercera columna es la sucesión de los números triangulares; la cuarta, la de los números tetraédricos; la quinta, la de los números pentaédricos, y así sucesivamente.

Generalizaciones[editar]

En vez de considerar las potencias de a + b, se puede considerar las del trinomio a + b + c. De esta manera, (a + b + c)n es una suma de monomios de la forma λp, q, r ·ap·bq·cr, con p, q y r positivos, p + q + r = n, y λp, q, r un número natural que se llama coeficiente trinomial.[13] [14] Los cálculos son similares a los del coeficiente binomial, y se dan mediante la siguiente expresión:

 \lambda_{p,q,r} = {n \choose p,q,r} = \frac {n!} {p! q! r!} ,

en subconjuntos de p, q y r elementos.

Estos coeficientes se pueden considerar como la analogía tridimensional del triángulo de Pascal. De hecho, a la distribución de estos coeficientes al estilo piramidad se le conoce como pirámide de Pascal; es también infinita, con secciones triangulares, y el valor en cada casilla es la suma de los valores de las tres casillas encima de ella.

En esta pirámide se observa una invariante por rotación de 120 grados alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice. El triángulo de Pascal aparece en las tres caras de la pirámide.

De igual manera, todo esto se puede generalizar a dimensiones finitas cualquieras, pero sin la posibilidad de hacer dibujos explicativos sencillos.

Véase también[editar]


Notas y referencias[editar]

  1. TRAITÉ DU TRIANGLE ARITHMÉTIQUE.
  2. .Peter Fox (1998). Cambridge University Library: the great collections. Cambridge University Press. pp. 13. ISBN 978-0-521-62647-7. http://books.google.com/books?id=xxlgKP5thL8C&pg=PA13. 
  3. Weisstein, Eric W. «Pascal's triangle» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  4. A. W. F. Edwards. Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea. JHU Press, 2002, pp. 30–31.
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografía de Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji.html .
  6. Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics, p.2169. ISBN 978-1-58488-347-0.
  7. Hemenway, Priya (2008). El Código Secreto. Evergreen. 
  8. Fowler, David (January 1996). «The Binomial Coefficient Function». The American Mathematical Monthly 103 (1):  pp. 1–17. doi:10.2307/2975209. 
  9. (en inglés) V. J. Katz, A History Of Mathematics: An Introduction, 1992 (de Binomial Theorem and the Pascal Triangle, UniSA)
  10. Site de Gérard Vilemin
  11. Henri Bosmans, Nota hisórica sobre el triángulo aritmético PDF
  12. (Fowler, 1996, p. 11)
  13. Harris, John; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael (2008). «2.3. Multinomial coefficients» (en inglés). Combinatorics and Graph Theory (2ª edición). New York (USA): Springer. pp. 145-147. ISBN 0387797106. 
  14. Weisstein, Eric W. «Trinomial Coefficient» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Enlaces externos[editar]