Inducción matemática
En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro
que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:
- Premisa mayor: El número entero
tiene la propiedad
. - Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero
tenga la propiedad
implica que
también la tiene (que se anota
). - Conclusión: Todos los números enteros a partir de
tienen la propiedad
.
Contenido |
[editar] Demostraciones por inducción
El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos
a la proposición, donde
es el rango.
- Se demuestra que
, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta. - Se demuestra que si se asume
como cierta y como hipótesis inductiva, entonces
lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural
(relación de inducción).
Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que
es cierto para todo natural
.
La inducción puede empezar por otro término que
, digamos por 
. Entonces
será válido a partir del número
, es decir, para todo natural
.
[editar] Ejemplo 1
Para todo
,
es un número que acaba en 6.
- Sea
la proposición: «
acaba en 6».
- Es claro que
es cierto, porque
.
- Es claro que
-
- Supongamos que
es cierto para un valor de
natural, y probemos
.
- Supongamos que
- Un entero acaba por 6 si se puede escribir así:
, con
entero positivo o igual a cero. La hipótesis es, pues,
. - Entonces
, con
, entero. - Esta última escritura prueba que
acaba por 6, o sea que
es cierto.
- Luego
es cierto para todo
.
La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. En este caso:
- 1 es un natural;
- si
lo es, entonces
(sucesor de
) lo es también.
Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional.
Además de la demostración por inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de
:
, o por inducción:

.
[editar] Ejemplo 2
- Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:
- 1. Se comprueba para n=1
- Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1
- 2. Hipótesis inductiva (n=h)
- 3. Tesis inductiva (n=h+1)
- 4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis

- Se aplica la hipótesis de inducción:
![\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + [2(h+1) - 1] 3^{h+1}](//upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/a/0/0/a00ae2dda4c5e875261f9ff9ff85f36b.png)

(sacando factor común)

- Por lo tanto, por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica

[editar] Véase también
[editar] Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Principle of Mathematical Induction» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
- Inducción matemática en PlanetMath
- Números naturales, principio de inducción
tiene la propiedad
también la tiene (que se anota
).
lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural
es cierto, porque
.
, con
.
, con
, entero.
acaba por 6, o sea que
.
.






![\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + [2(h+1) - 1] 3^{h+1}](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/es/math/a/0/0/a00ae2dda4c5e875261f9ff9ff85f36b.png)

(sacando factor común)