Inducción matemática

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
Una descripción informal de la inducción matemática puede ser ilustrada por el efecto dominó, donde ocurre una reacción en cadena con una secuencia de piezas de dominó cayendo una detrás de la otra.

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar proposiciones que dependen de un parámetro n\, que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero a\, tiene la propiedad P\,.
Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero n\, tenga la propiedad P\, implica que n+1\, también la tiene (que se anota coloquialmente como n\Rightarrow n+1).
Conclusión: Todos los números enteros a partir de a\, tienen la propiedad P\,.

La demostración esta basada en el axioma denominado principio de la inducción matemática.[1]

Historia[editar]

La primera formulación explícita sobre el principio de inducción fue establecida por el físico y matemático Blaise Pascal en su obra Traité du triangle arithmétique (1665).[2]

Demostraciones por inducción[editar]

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos P_n\, a la proposición, donde n\, es el rango.

  • Se demuestra que P_0\, es cierta, esto es el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción).
  • Se demuestra que si se supone P_n\, como cierta y como hipótesis inductiva, entonces P_{n+1}\, lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n\, (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que P_n\, es cierto para todo natural n\,.

La inducción puede empezar por otro término que no sea P_0\,, digamos por P_{n_0}\,. Entonces P_n\, será válido a partir del número n_0\,, es decir, para todo natural n \ge n_0\,.

Ejemplo[editar]

Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:
\sum_{k=1}^n (2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^{n+1} + 3 \forall n \in \mathbb{N}
1. Se comprueba para n=1
\sum_{k=1}^1 (2 - 1) 3^1 = 3 = (1 - 1) 3^{1+1} + 3
Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1
2. Hipótesis inductiva (n=h)
\sum_{k=1}^h (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3
3. Tesis inductiva (n=h+1)
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h + 1 - 1) 3^{h+1+1} + 3
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3
4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = \sum_{k=1}^{h} (2k - 1) 3^k  +(2(h+1) - 1) 3^{h+1}
Se aplica la hipótesis de inducción:
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + [2(h+1) - 1] 3^{h+1}
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + (2h+2 - 1) 3^{h+1}
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} (h - 1 + 2h + 1) + 3 (sacando factor común)
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} 3h + 3
\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3
Por lo tanto, verificándose la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica \forall n \in \mathbb {N}.

Referencias[editar]

  1. "Diccionario de Matemáticas" de Christopher Clapham (1998) ISBN: 84-89784-56-6
  2. Lokenath Debnath (2009), The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute, World Scientifi

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]