Inducción matemática

Una descripción informal de la inducción matemática puede ser ilustrada por el efecto dominó, donde ocurre una reacción en cadena con una secuencia de piezas de dominó cayendo una detrás de la otra.

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro $n\,$ que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero $a\,$ tiene la propiedad $P\,$.

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero $n\,$ tenga la propiedad $P\,$ implica que $n+1\,$ también la tiene (que se anota $n \Rightarrow n + 1$).

Conclusión: Todos los números enteros a partir de $a\,$ tienen la propiedad $P\,$.

Con más rigor, el método de inducción matemática es el que realiza la demostración para proposiciones en las que aparece como variable un número natural. Se basa en un axioma denominado principio de la inducción matemática.

Demostraciones por inducción

El razonamiento para demostrar una proposición cualquiera mediante el esquema del razonamiento es como sigue. Llamemos $P_n\,$ a la proposición, donde $n\,$ es el rango.

• Se demuestra que $P_0\,$, el primer valor que cumple la proposición (iniciación de la inducción), es cierta.
• Se demuestra que si se asume $P_n\,$ como cierta y como hipótesis inductiva, entonces $P_{n+1}\,$ lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural $n\,$ (relación de inducción).

Luego, demostrado esto, concluimos por inducción, que $P_n\,$ es cierto para todo natural $n\,$.

La inducción puede empezar por otro término que $P_0\,$, digamos por $P_{n_0}\,$. Entonces $P_n\,$ será válido a partir del número $n_0\,$, es decir, para todo natural $n \ge n_0\,$.

Ejemplo 2

Véase también: Sumatorio.

Se tratara de demostrar por inducción la siguiente proposición:

$\sum_{k=1}^n (2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^{n+1} + 3$ $\forall n \in \mathbb{N}$

1. Se comprueba para n=1

$\sum_{k=1}^1 (2 - 1) 3^1 = 3 = (1 - 1) 3^{1+1} + 3$

Se tiene por tanto que la proposición es verdadera para n=1

2. Hipótesis inductiva (n=h)

$\sum_{k=1}^h (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3$

3. Tesis inductiva (n=h+1)

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h + 1 - 1) 3^{h+1+1} + 3$

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3$

4. Demostración de la tesis en base a la hipótesis

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = \sum_{k=1}^{h} (2k - 1) 3^k +(2(h+1) - 1) 3^{h+1}$

Se aplica la hipótesis de inducción:

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + [2(h+1) - 1] 3^{h+1}$

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^{h+1} + 3 + (2h+2 - 1) 3^{h+1}$

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} (h - 1 + 2h + 1) + 3$ (sacando factor común)

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = 3^{h+1} 3h + 3$

$\sum_{k=1}^{h+1} (2k - 1) 3^k = h 3^{h+2} + 3$

Por lo tanto, por verificarse la proposición para n=1 y para n=k+1 siendo k cualquier número natural, la proposición se verifica $\forall n \in \mathbb {N}$

Véase también

• Recurrencia
• Número natural
• Paradoja del caballo

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Principle of Mathematical Induction» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Inducción matemática en PlanetMath
• Números naturales, principio de inducción