Serie matemática

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En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como \sum_{i=1}^N a_i donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, i = 1,2,3,\ldots.

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si \lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i no existe o si tiende a infinito; converge si \lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L para algún L \in \mathbb{R}.

Contenido

[editar] Algunos tipos de series

  • Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.
En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente sólo si |z| < 1 a:
\sum_{n=0}^{\infty} z^n = {1 \over 1 - z}
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.
La serie armónica es divergente.
  • Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:
1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.
  • Una serie telescópica es la suma \textstyle \sum a_n , donde an = bnbn+1. Se representa de la siguiente manera:
\sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )
La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:
S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) = b_0 - b_{N+1}

[editar] Sumas conocidas

Artículo principal: Fórmula de Faulhaber
\sum_{i=1}^{r} i={r(r+1)\over 2}.
\sum_{i=1}^{r} i^2={r(r+1)(2r+1)\over 6}.
\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{i} j=\sum_{i=1}^{r}{i(i+1)\over 2}= {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r}(i^2 + i)={1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i^2 + {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i.

[editar] Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge (\pm \infty u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

[editar] Condición del resto

Para que una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k sea divergente, se cumple que \lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0

Sin embargo, si resulta que \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0, entonces la condicion no da criterio acera de su convergencia o divergencia y se tendra que buscar metodos distintos para averiguar si converge o diverge.


Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Demostración:

Por Hipótesis:

Sk = a1 + a2 + ... + ak
\lim_{k \rightarrow \infty} S_k = S para todo S \, \in \, \mathbb R

Sabemos que Sk − 1 = a1 + a2 + ... + ak − 1 y que \lim_{k \rightarrow \infty} S_{k-1} = S para todo S \, \in \, \mathbb R

Por lo tanto teniendo en cuenta que SkSk − 1 = ak entonces \lim_{k \rightarrow \infty} (S_k-S_{k-1}) =S-S= \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0

Queda demostrada la proposición.

[editar] Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Artículo principal: Criterio de d'Alembert

Sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).

Si existe

\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L

con L \, \in \, [0, +\infty), el Criterio de D'Alembert establece que:

  • si L < 1, la serie converge.
  • si L > 1, entonces la serie diverge.
  • si L = 1, no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

[editar] Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L, siendo L \, \in \, [0, +\infty)

Entonces, si:

  • L < 1, la serie es convergente.
  • L > 1 entonces la serie es divergente.
  • L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

[editar] Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

k puede valer 0.

Sea una serie \sum_{k=1}^{\infty} a_k, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=L, siendo L \, \in \, (-\infty , +\infty )

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

[editar] Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces \textstyle \sum{a_n} converge si y sólo si \textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

\sum_{n=N}^\infty f(n)

converge sí y sólo sí la integral

\int_N^\infty f(x)\,dx

converge.

[editar] Criterio de Leibnitz

Una serie de la forma \sum_{n=1}^\infty (-1)^n{a_n} (con a_n\ge0) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) \lim_{k \rightarrow \infty} (-1)^na_k= 0 para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: |{a_k}|\ge|a_{k+1}|

Si esto se cumple la serie \sum_{n=1}^\infty {a_n} es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de \sum_{n=1}^\infty |{a_n}| antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

[editar] Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra seríe \sum(b_n) tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la seríe geométrica. Entonces:

[editar] Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si 0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0

  • Si \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge
  • Si \sum(a_n) diverge \Rightarrow \sum(b_n) diverge

[editar] Criterio de comparación por paso al límite del cociente

\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=L

Entonces:

  • Si L = 0 y \sum(b_n) converge \Rightarrow \sum(a_n) converge
  • Si L=\infty y \sum(b_n) diverge \Rightarrow \sum(a_n) diverge
  • En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).

[editar] Tipos de convergencia

[editar] Convergencia absoluta

Artículo principal: convergencia absoluta

Una serie alternada an converge absolutamente si

\sum_{n=1}^\infty \left| {a_n}\right|

es una serie convergente. Se demuestra que una serie que converge absolutamente, es una serie convergente.

[editar] Véase también

[editar] Enlaces externos

  1. http://www.dma.fi.upm.es/gies/informates/Calculo/calculo_6_2_2.pdf
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