Serie matemática

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En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos $a n$ como $\sum_{i=1}^N a_i$ donde N es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, $i = 1,2,3,\ldots$ .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i$ no existe o si tiende a infinito; converge si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L$ para algún $L \in \mathbb{R}$ .

Contenido

1 Algunos tipos de series
2 Sumas conocidas
3 Criterios de convergencia
4 Criterios de convergencia comparativos
- 4.1 Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )
- 4.2 Criterio de comparación por paso al límite del cociente
5 Tipos de convergencia
- 5.1 Convergencia absoluta
6 Véase también
7 Enlaces externos

[editar] Algunos tipos de series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.$

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente sólo si |z| < 1 a:

$\sum_{n=0}^{\infty} z^n = {1 \over 1 - z}$

La serie armónica es la serie

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

Una serie telescópica es la suma $\textstyle \sum a_n$ , donde a_n = b_n − b_n+1. Se representa de la siguiente manera:

$\sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )$

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

$S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) = b_0 - b_{N+1}$

Una serie hipergeométrica^[1] es una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,$ , que cumple que ${a_{n+1}\over a_n}\,$ = ${\alpha n + \beta}\over {\alpha n + \gamma}\,$ .

[editar] Sumas conocidas

Artículo principal: Fórmula de Faulhaber

$\sum_{i=1}^{r} i={r(r+1)\over 2}.$

$\sum_{i=1}^{r} i^2={r(r+1)(2r+1)\over 6}.$

$\sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{i} j=\sum_{i=1}^{r}{i(i+1)\over 2}= {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r}(i^2 + i)={1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i^2 + {1 \over 2}\sum_{i=1}^{r} i.$

[editar] Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( $\pm \infty$ u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de que tipo es (convergente o divergente).

[editar] Condición del resto

Para que una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ sea divergente, se cumple que $\lim_{k \rightarrow \infty} a_k\neq 0$

Sin embargo, si resulta que $\lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0$ , entonces la condicion no da criterio acera de su convergencia o divergencia y se tendra que buscar metodos distintos para averiguar si converge o diverge.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Demostración:

Por Hipótesis:

S k = a 1 + a 2 + ... + a k

$\lim_{k \rightarrow \infty} S_k = S$ para todo $S \, \in \, \mathbb R$

Sabemos que $S k - 1 = a 1 + a 2 + ... + a k - 1$ y que $\lim_{k \rightarrow \infty} S_{k-1} = S$ para todo $S \, \in \, \mathbb R$

Por lo tanto teniendo en cuenta que $S k - S k - 1 = a k$ entonces $\lim_{k \rightarrow \infty} (S_k-S_{k-1}) =S-S= \lim_{k \rightarrow \infty} a_k=0$

Queda demostrada la proposición.

[editar] Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razón)

Artículo principal: Criterio de d'Alembert

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ ( serie de términos positivos).

Si existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac {a_{k+1}}{a_k}=L$

con $L \, \in \, [0, +\infty)$ , el Criterio de D'Alembert establece que:

si $L < 1$ , la serie converge.
si $L > 1$ , entonces la serie diverge.
si $L = 1$ , no es posible decir nada sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

[editar] Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} \sqrt [k] {a_k}=L$ , siendo $L \, \in \, [0, +\infty)$

Entonces, si:

$L < 1$ , la serie es convergente.
$L > 1$ entonces la serie es divergente.
$L$ =1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

[editar] Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

k puede valer 0.

Sea una serie $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ , tal que $a k > 0$ (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

$\lim_{k \rightarrow \infty} k \left ( 1 - \frac {a_{k+1}}{a_k} \right )=L$ , siendo $L \, \in \, (-\infty , +\infty )$

Por tanto, si $L > 1$ , entonces la serie es convergente y si $L < 1$ , la serie es divergente

Tened cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

[editar] Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = a_n para todo n, entonces $\textstyle \sum{a_n}$ converge si y sólo si $\textstyle \int_1^\infty f(x)\,dx$ es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie

$\sum_{n=N}^\infty f(n)$

converge sí y sólo sí la integral

$\int_N^\infty f(x)\,dx$

converge.

[editar] Criterio de Leibnitz

Una serie de la forma $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n{a_n}$ (con $a_n\ge0$ ) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) $\lim_{k \rightarrow \infty} (-1)^na_k= 0$ para n par y n impar

b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente es decir que: $|{a_k}|\ge|a_{k+1}|$

Si esto se cumple la serie $\sum_{n=1}^\infty {a_n}$ es condicionalmente convergente de lo contrario la serie diverge.

Nota:Se debe descartar primero la convergencia absoluta de $\sum_{n=1}^\infty |{a_n}|$ antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.

[editar] Criterios de convergencia comparativos

Son aplicables en caso de disponer de otra seríe $\sum(b_n)$ tal que se conozca su condición, tal como la divergencia para la seríe geométrica. Entonces:

[editar] Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss )

Si $0 < a_n \le b_n , \forall n \ge n_0$

Si $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $\sum(a_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(b_n)$ diverge

[editar] Criterio de comparación por paso al límite del cociente

$\lim_{k \rightarrow \infty} \left ( \frac {a_{k}}{b_k} \right )=L$

Entonces:

Si $L = 0$ y $\sum(b_n)$ converge $\Rightarrow \sum(a_n)$ converge
Si $L=\infty$ y $\sum(b_n)$ diverge $\Rightarrow \sum(a_n)$ diverge
En otro caso, ambas series comparten la misma condición (ambas convergen, o bien ambas son divergentes).