Serie matemática

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En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a_1 + a_2 +a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \dots \;\; lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: \sum_{1\le n} a_n.

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Definiciones[editar]

Sumas parciales[editar]

Para cualquier sucesión matemática \{a_n\} de números racionales, reales, complejos, funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:

\sum_{n=0}^{\infty}a_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots .

La sucesión de sumas parciales \{S_k\}\ asociada a una sucesión \{a_n\}\ está definida para cada k\ como la suma de la sucesión \{a_n\}\ desde a_0\ hasta a_k\ :

S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia[editar]

Por definición, la serie \sum_{n=0}^{\infty} a_n converge al límite L\ si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada S_k converge a L\ . Esta definición suele escribirse como

L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n \Leftrightarrow L = \lim_{k \rightarrow \infty} S_k.

Ejemplos[editar]

  • Una serie geométrica es aquella en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, la razón r = 1/2):
1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |z| < 1, a:

\sum_{n=0}^{\infty} az^n = {a \over 1 - z}
1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.

La serie armónica es divergente.

1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.
  • Una serie telescópica es la suma \textstyle \sum a_n , donde an = bnbn+1:
\sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) = b_0 - b_{N+1}
 \sum_{n=0}^{\infty} a_n\, , con  {a_{n+1}\over a_n}\, =  {\alpha n + \beta}\over {\alpha n + \gamma}\, .

Convergencia de series[editar]

Una serie  ∑an  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

Sn = 0.111111...

tiene como representación decimal, la serie

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}.

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999...

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]