Número imaginario

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: $5i\$ es un número imaginario, así como $i\$ o $-i\$ son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

$z = x + iy \;\;\;$ en donde $x=0.\$

Convencionalmente, se le llama imaginario puro, o simplemente imaginario, si el contexto no se presta a confusión; de otro modo, los términos número imaginario y número complejo quieren decir lo mismo.

Un número imaginario puro puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 ($i=\sqrt{-1}$).

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a $\sqrt{-1}$ el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que $\sqrt{-1}$ era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En ingeniería electrónica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Historia

Cronología

Año	Acontecimiento
1572	Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.
1777	Leonhard Euler utiliza el símbolo "i" para representar la raíz cuadrada de -1.
1811	Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo tammbién conocida como plano de Argand

Propiedades

$\ldots$ (se repite el patrón de la zona azul)

$i^{-3} = i\,$

$i^{-2} = -1\,$

$i^{-1} = -i\,$

$i^0 = 1\,$

$i^1 = i\,$

$i^2 = -1\,$

$i^3 = -i\,$

$i^4 = 1\,$

$i^5 = i\,$

$i^6 = -1\,$

$\ldots$ (se repite el patrón de la zona azul)

Todo número imaginario puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad imaginaria, con la propiedad

$i^2 = -1\,\!$,

puesto entonces:

$(bi)^2 = -b^2 \;$

que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

$a + bi \,\!$

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

$\sqrt{-1} = i$

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario, así por ejemplo:

$\sqrt{-36} = \sqrt{(36)(-1)} = \sqrt{36} \, \sqrt{-1} = 6\; i$

Estos números extienden el conjunto de los números reales $\R$ al conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$.

Usos

• La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos, confirmando el teorema fundamental del algebra.
• Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número complejo.
• Gracias a la fórmula de De Moivre los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no unívoca) mediante $\ i$, así $\ ln(-1) = \pi i$ aunque cualquier número imaginario de la forma $\ x = (2n+1)\pi i$ satisface que $\ e^x = -1$. Curiosamente, $i^i = e^{\log {i^i}} = e^{i \log{i}} = e^{- {\pi \over2}} \approx 0,2078795764$.
• En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
• En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.

Véase también

Números Complejos $\mathbb{C}$ Reales $\mathbb{R}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Naturales $\mathbb{N}$ Uno Primos Compuestos Cero Negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Algebraicos irracionales Trascendentes Imaginarios