Sucesión matemática

Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es una sucesión acotada.

En matemáticas, una sucesión es una lista ordenada de objetos, cada uno de ellos denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

Definición formal

Una sucesión finita $(a_k)$ (de longitud m) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\{1,2,\ldots,r\}\to S$.

y en este caso el elemento $a_k$ corresponde a $f(k)$.

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

$2,3, 5, 7$

corresponde a la función $f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P}$ (donde $\mathbb{P}$ es el conjunto de números primos) definida por:

$f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=7$.

Una sucesión infinita $(a_k)$ con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

$f:\N\to S$.

en donde, de forma análoga, $a_k$ corresponde a $f(k)$.

Notación

Notaremos por $\left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}$ a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos $\left\{{y_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}$.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a $x_n^{}$,donde el subíndice ${n\in \mathbb{N}}$ indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial

Llamaremos parcial de $\left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}$ a una sucesión $\left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\in \mathbb{N}}$ donde $n_i <n_{i+1}$.

Notación

Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.

Se puede usar la notación $(a_n)$ para indicar una sucesión, en donde $a_n$ hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.

Ejemplo. Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por $(p_n)$:

$(p_n)=2,4,6,8,10,12,...$

entonces

$p_1 =2, p_2=4, p_3=6, p_4=8,\ldots$.

En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior $(p_n)$ puede especificarse mediante la fórmula $p_n=2n$.

No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.

En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:

• $\{ a_n \} =a_1,a_2,a_3,\ldots$
• $( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m$
• $\{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots,$

Sucesiones numéricas

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales, es decir :

$\begin{matrix} a:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & a_n \end{matrix}$

que se denota simplemente como $\left\{{a_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como $\left\{{a_n}\right\}_{n \geq 0}$.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de $a_{}^{}$ fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo $\scriptstyle \frac{x}{y}, \; y \neq 0$, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ...

Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general, dados previamente los valores de $a_0, \; a_1,\; ... \; ,\; a_n$, podemos definir el término general de forma inductiva como $a_{i+1} = f(a_{i-n}, \; ... \; , a_i) , \; i \ge n$ como por ejemplo con la ecuación en recurrencias $a_{i+1} = b_0 a_{i-n} + \; ... \; + b_n a_i + c_n , \; i \ge n, \; b_0, \; ... \; , \; b_n, \; c_n \in \mathbb{R}$.

Tipos

Sucesión finita

Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: $a_0, \; a_1, \; a_2, \; ... \; , \; a_i , \; ... \; , \; a_n$, donde $a_i^{}$ sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0

Sucesión constante

Se dice que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, $k_{}^{}$, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente $a_0^{} = k, \; a_1 = k, \; a_2 = k, \; a_3 = k, \; ... \; , \; a_n = k,\;...$

ejemplo: si $k_{}^{}=1$ queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesiones monótonas

Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente:

Sucesión creciente

Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que $a_n^{} < a_{n+1}$, es decir, que el siguiente término, $a_{n+1}^{}$, siempre sea mayor estricto que su predecesor, $a_n^{}$, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...

Para reales: $-2'01, \; -1, \; 0, \; \sqrt{2}, \; e_{}^{}, \; \pi, \; ,\;...$.

Si se impone $a_n^{} \leq a_{n+1}$, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

• si $a_n^{} > a_{n+1}$ es estrictamente decreciente.
• si $a_n^{} \geq a_{n+1}$ entonces la sucesión es decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como $a_n=(-1)^{n}$ que nos genera la sucesión: a₀=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por las series llamadas series alternadas.

Sucesiones Acotadas

Una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$, está acotada cuando,

$\exists c \in \mathbb{R}, c > 0 : |a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N}$

Sucesiones Convergentes

Una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$, converge a $a$ o tiene por límite $a$ (cuando $n \rightarrow \infty$), y se escribe,

$\lim_{n} a_n = a$

cuando,

$\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}$

Propiedades

Unicidad del límite de una sucesión

Si una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$ converge, entonces el $\lim_{n} a_n$ es único.

Demostración

Sean $a, a' \in \mathbb{R}$ de forma que, $\lim_{n} a_n = a,\ \lim_{n} a_n = a'$ Entonces se cumplen estos dos asertos, Primero, $\forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_1 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_1, n \in \mathbb{N}$ Segundo, $\forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_2 \in \mathbb{N} : |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_2, n \in \mathbb{N}$ luego para $n > n_0, n_0 = \mbox{max}\{n_1, n_2\}$, $|a - a'| = |a -a' + a_n - a_n| \leq |a_n - a| + |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon, \forall \epsilon > 0$ Como $\epsilon$ fue elegido de forma arbitraria entonces $a = a' \ \ \blacksquare$

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente

Si una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$ es convergente, entonces está acotada.

Demostración

Una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$ es convergente cuando, $\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}$ luego en particular, por ejemplo, para $\epsilon = 1$ (podríamos haber tomado cualquier otro $\epsilon > 0$) se verifica que, $|a_n - a| < 1, \forall n \geq n_0$ Ahora bien, $|a_n| = |a_n - a + a| = |(a_n - a) - (-a)| \leq |a_n - a| + |-a| = |a_n - a| + |a| < 1 + |a|$ luego hemos concluido que $\forall n \geq n_0$ se verifica que, $|a_n| < 1 + |a|$ Se debe encontrar un $c > 0$ de forma que $\forall n \in \mathbb{N}$ sea $|a_n| \leq c$. Como a partir del índice $n_0$ se cumple, sumando a $1 + |a|$ todos los elementos que van por detrás de $n_0$ hasta el elemento 1 de la sucesión ya tendríamos el $c > 0$ buscado. Entonces si, $c = 1 + |a| + |a_{n_0 - 1}| + |a_{n_0 - 2}| + \cdots + |a_1|$ se tiene que, $|a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N} \ \ \blacksquare$

Extensión a los reales

Compruébese que $\scriptstyle \{ a_n^{}\} =f(n)=f(n)+\sin(n \pi)$, ilustrando que dos funciones reales diferentes pueden corresponder a una misma sucesión sobre los enteros.

Dada una función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, llamaremos extensión en los reales de $f_{}^{}$ a una función $P: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cuyos valores coinciden en el dominio de $f_{}^{}$, es decir, $f_{ | \mathbb{N}}=P_{ | \mathbb{N}}$.

Es incorrecto representar a la extensión en los reales con el mismo nombre ($f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$), pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no unívoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Se suele llamar a la extendida por ejemplo $P_{}^{}, \; Q_{}^{}, \; \phi_{}^{}$ o $\psi_{}^{}$ si es un polinomio, o $g_{}^{}$ o $h_{}^{}$ si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones, entre otras .

Generalización en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

El espacio de sucesiones finitas complejas $\mathbb{C}$

Se puede tener una sucesión $\left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}}$ tal que ${a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...)\text{, donde } a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}-\left\{0\right\}$

El espacio de sucesiones complejas o ℓ² $\mathbb{C}^n$

Se puede tener una sucesión $\left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}}$ tal que ${V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)})\text{, donde } a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}$

El espacio de polinómico K[x]

Un polinomio $P(x) \in K[x]$ no es más que una sucesión finita $\left\{{a_n}\right\}_n$ tal que $a_n \in K$ representada como $P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$.

El espacio de las matrices $M_{m \times n}(k)$

Se puede tener una sucesión $\left\{{A_i}\right\}_{i \in \mathbb{N}}$ tal que $A_i:= \begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & \ldots & a_{1,n}^{(i)} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m,1}^{(i)} & \ldots & a_{m,n}^{(i)} \end{pmatrix}$, donde $a_{j,k}^{(i)} \in K$.

En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión $\left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}$, donde $V_n^{}:= \alpha_n B$, donde $\alpha_n \in \mathbb{R}$ es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas $\left\{{{f(x)}_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}=\sin(x)^n$.

En el lenguaje proposicional

Sea $A_{}^{}$ un alfabeto, llamaremos $A_{}^n$ al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de $A$, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: $A^1=A, A^2=A\times A, ... , A^n:=A^{n-1}\times A$

• así ${<}a_1,...,a_n>:={<<}a_1,...,a_{n-1}{>},a_n{>}\in A^n {,y\;} a_i:={<}a_i{>}\in A$.

En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos.

En el lenguaje de las categorías

Sea $\mathcal{A}$ una categoría, podemos tener una sucesión $\left\{{A_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$, donde $A_{n}^{} \in Ob({ \mathcal{A} })$.

Véase también

Número de Perrin Secuencia de Padovan Sucesión de Cauchy Sucesión de Farey Sucesión de Fibonacci Sucesión de Goodstein Sucesión de Thue-Morse

Sucesión exacta Ecuaciones en diferencias Transformada Z Serie matemática Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros Sucesiones aritméticas Sucesiones geométricas Sucesiones aritmeticogeométricas

Bibliografía

• Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre SucesiónCommons.
• Cálculo de la fórmula de una sucesión