Sucesión matemática

En matemática, se llama sucesión o secuencia al conjunto de elementos encadenados o sucesivos.

Se excluye totalmente la sinonimia con el término: serie matemática.

En textos académicos se suele llamar simplemente sucesión con el bien entendido que todas son del mismo tipo. Esto no impide la existencia de sucesiones de diversas entidades matemáticas.

Cuando abundan sucesiones de todo tipo se puede cambiar incluso el nombre de sucesión por otro.

Véase también: tupla, colección, familia y conjuntos en matemáticas.

Definiciones

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

Definición para categorías

Clase de finitos o numerables objetos ordenados.

Definición conjuntista

Una sucesión en un conjunto X es una enumeración de elementos de X, es decir una aplicación de $\mathbb{N}$ en X.

Notación

Notaremos por $\left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}$ a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos $\left\{{y_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}$.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general

Llamaremos término general de una sucesión a $x_n^{}$,donde el subíndice ${n\in \mathbb{N}}$ indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial

Llamaremos parcial de $\left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}$ a una sucesión $\left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\in \mathbb{N}}$ donde $n_i^{}<n_{i+1}^{}$

Ejemplos en distintas áreas

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

El espacio de sucesiones finitas complejas $\mathbb{C}$

Se puede tener una sucesión $\left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}}$ tal que ${a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...),donde\; a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}-\left\{0\right\}$

El espacio de sucesiones complejas o ℓ² $\mathbb{C}^n$

Se puede tener una sucesión $\left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}}$ tal que ${V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)}),donde\; a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}$

El espacio de polinómico K[x]

Un polinomio $P(x) \in K[x]$ no es más que una sucesión finita $\left\{{a_n}\right\}_n$ tal que $a_n \in K$ representada como $P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$.

El espacio de las matrices $M_{m \times n}(k)$

Se puede tener una sucesión $\left\{{A_i}\right\}_{i \in \mathbb{N}}$ tal que $A_i:= \begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & \ldots & a_{1,n}^{(i)} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m,1}^{(i)} & \ldots & a_{m,n}^{(i)} \end{pmatrix}$, donde $a_{j,k}^{(i)} \in K$.

En un espacio vectorial topológico

Se puede tener una sucesión $\left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}$, donde $V_n^{}:= \alpha_n B$, donde $\alpha_n \in \mathbb{R}$ es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

Sucesiones funcionales

Se puede tener una sucesión de funciones continuas $\left\{{{f(x)}_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}=sin(x)^n$.

En el lenguaje proposicional

Sea $A_{}^{}$ un alfabeto, llamaremos $A_{}^n$ al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de A, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: $A^1=A, A^2=A\times A, ... , A^n:=A^{n-1}\times A$

• así ${<}a_1,...,a_n>:={<<}a_1,...,a_{n-1}{>},a_n{>}\in A^n {,y\;} a_i:={<}a_i{>}\in A$.

En homología simplicial

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos.

En el lenguaje de las categorías

Sea $\mathcal{A}$ una categoría, podemos tener una sucesión $\left\{{A_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$, donde $A_{n}^{} \in Ob({ \mathcal{A} })$.

Sucesiones numéricas

Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:

0,1,1,2,3,5,8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.

En la sucesión geométrica el número siguiente de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.

En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir :

$\begin{matrix} u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\ & n & \to & u_n \end{matrix}$

que escribiremos simplemente como $\left\{{u_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale $\left\{{u_n}\right\}_{n \geq 0}$.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de $u_{}^{}$ fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo $\frac{a}{b}, \; b \neq 0$, podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .

Una sucesión en $\mathbb{R}$ es una enumeración de números reales , es decir una aplicación de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$.

Sucesiones Acotadas

Una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$, está acotada cuando,

$\exists c \in \mathbb{R}, c > 0 : |a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N}$

Sucesiones Convergentes

Una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$, converge a a o tiene por límite a (cuando $n \rightarrow \infty$), y se escribe,

lim _na_n = a

cuando,

$\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}$

Unicidad del límite de una Sucesión

Si una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$ converge, entonces el lim _na_n es único.

Demostración

Sean $a, a' \in \mathbb{R}$ de forma que,

$\lim_{n} a_n = a,\ \lim_{n} a_n = a'$

Entonces se cumplen estos dos asertos,

Primero,

$\forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_1 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_1, n \in \mathbb{N}$

Segundo,

$\forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_2 \in \mathbb{N} : |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_2, n \in \mathbb{N}$

luego para n > n₀,n₀ = max{n₁,n₂},

$|a - a'| = |a -a' + a_n - a_n| \leq |a_n - a| + |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon, \forall \epsilon > 0$

Como $\epsilon$ fue elegido de forma arbitraria entonces $a = a' \ \ \blacksquare$

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente

Si una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$ es convergente, entonces está acotada.

Demostración

Una sucesión $\{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}$ es convergente cuando,

$\forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}$

luego en particular, por ejemplo, para $\epsilon = 1$ (podríamos haber tomado cualquier otro $\epsilon > 0$) se verifica que,

$|a_n - a| < 1, \forall n \geq n_0$

Ahora bien,

$|a_n| = |a_n - a + a| = |(a_n - a) - (-a)| \leq |a_n - a| + |-a| = |a_n - a| + |a| < 1 + |a|$

luego hemos concluido que $\forall n \geq n_0$ se verifica que,

| a_n | < 1 + | a |

Debemos encontrar un c > 0 de forma que $\forall n \in \mathbb{N}$ sea $|a_n| \leq c$. Como a partir del índice n₀ se cumple, sumando a 1 + | a | todos los elementos que van por detrás de n₀ hasta el elemento 1 de la sucesión ya tendríamos el c > 0 buscado.

Entonces si,

$c = 1 + |a| + |a_{n_0 - 1}| + |a_{n_0 - 2}| + \cdots + |a_1|$

tenemos que,

$|a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N} \ \ \blacksquare$

Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada término el valor que le corresponde directamente:

• El primero es $u_0^{}=$ a por ejemplo 3,
• el segundo es $u_1^{}=$ a por ejemplo -10,
• el tercero es $u_2^{}=$ a por ejemplo 9, y así sucesivamente.
• Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los valores, se usa el término general y se escribe acompañado como $, \; ... \; ,u_n^{}=$ a por ejemplo número al azar, ... .

Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, $u_n^{}=$, el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre $n_{}^{}$ puede ser cambiado, si hace falta, por $i_{}^{}$, $j_{}^{}$, $k_{}^{}$, $l_{}^{}$, ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

Sucesión finita

Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: $a_0, \; a_1, \; a_2, \; ... \; , \; a_i , \; ... \; , \; a_n$, donde $a_i^{}$ sería el término general si hiciese falta.

ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

Sucesión constante

Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, $a_{}^{}$, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente $u_0^{} = a, \; u_1 = a, \; u_2 = a, \; u_3 = a, \; ... \; , \; u_i = a,\;...$.

ejemplo: si $a_{}^{}=1$ queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesión creciente

Si imponemos al término general, de una sucesión numérica, la condición que $a_i^{} < a_{i+1}$, es decir, que el siguiente término, $a_{i+1}^{}$, siempre sea mayor estricto que su predecesor, $a_i^{}$, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... .

Para reales: $-2'01, \; -1, \; 0, \; \sqrt{2}, \; e_{}^{}, \; \pi, \; ,\;...$.

Si imponemos $a_i^{} \leq a_{i+1}$, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

• si $a_i^{} \geq a_{i+1}$ entonces la sucesión es decreciente,
• si $a_i^{} > a_{i+1}$ es estrictamente decreciente.

Sucesión alternada

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como a_n = ( − 1)ⁿ que nos genera la sucesión: a₀=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizada por las series llamadas series alternadas.

Según el término general

El término general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si $u_i^{} = f(i)$ donde $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ es una función cualquiera como por ejemplos:

$u_i^{} = i + 1$ que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

$u_i^{} =2 i$ que daría todos los números pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... .

$u_i^{} = i^2$ que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .

Dada una función $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, llamaremos extensión en los reales de $f_{}^{}$ a una función $P: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ cuyos valores coinciden en el dominio de $f_{}^{}$, es decir, $f_{ | \mathbb{N}}=P_{ | \mathbb{N}}$.

• Error fatal es nombrar a la extensión en los reales con el mismo nombre ¡$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$!, pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no unívoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Compruébese que $f(i)=u_i^{}=f(i)+sin(i \pi)$ solo si la sucesión que determinan sobre los enteros es la misma, pero ¡no son la misma función!, llamemos a la extendida por ejemplo $P_{}^{}, \; Q_{}^{}, \; \phi_{}^{}$ o $\psi_{}^{}$ si es un polinomio, o $g_{}^{}$ o $h_{}^{}$ si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones... .

Casos en los que f no puede extenderse sobre los reales:

• si definimos u_n como el número de factores propios de n.
• funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la Función de Möbius µ.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores, esto se indica en general del modo siguiente:

Dados previamente los valores de $u_0, \; u_1,\; ... \; ,\; u_n$, podemos definir el término general de forma inductiva como $u_{i+1} = f(u_{i-n}, \; ... \; , u_i) , \; i \ge n$ como por ejemplo con la ecuación en diferencias $u_{i+1} = a_0 u_{i-n} + \; ... \; + a_n u_i + b_n , \; i \ge n, \; a_0, \; ... \; , \; a_n, \; b_n \in \mathbb{R}$.

Ejemplos

• Sucesiones aritméticas.
• Sucesiones geométricas.
• Sucesiones aritmeticogeométricas.

Véase también

Número de Perrin Secuencia de Padovan Sucesión de Cauchy Sucesión de Farey Sucesión de Fibonacci Sucesión de Goodstein Sucesión de Thue-Morse

Sucesión exacta Ecuaciones en diferencias Transformada Z Serie matemática Enciclopedia electrónica de secuencias de enteros

Bibliografía

• Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre SecuenciaCommons.
• Cálculo de la fórmula de una sucesión

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El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en castellano bajo la licencia GFDL.

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