Sucesión matemática

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Una sucesión infinita de números reales (en azul). La sucesión no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni es una sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí es una sucesión acotada.

Una sucesion es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.

A diferencia de un conjunto, el orden en que aparecen los términos sí es relevante y un mismo término puede aparecer en más de una posición. De manera formal, una sucesión puede definirse como una función sobre el conjunto de los números naturales (o un subconjunto del mismo) y es por tanto una función discreta.

Ejemplo

La sucesión (A, B, C) es una sucesión de letras que difiere de la sucesión (C, A, B). En este caso se habla de sucesiones finitas (de longitud igual a 3). Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.

Definiciones[editar]

Las diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

Definición formal[editar]

Una sucesión finita (a_k) (de longitud r) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

f:\{1,2,\ldots,r\}\to S.

y en este caso el elemento a_k corresponde a f(k).

Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10:

  2,3, 5, 7

corresponde a la función f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P} (donde \mathbb{P} es el conjunto de números primos) definida por:

f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5, f(4)=7.

Una sucesión infinita (a_k) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función

f:\N\to S.

en donde, de forma análoga, a_k corresponde a f(k).

Notación[editar]

Notaremos por \left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos \left\{{y_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}.

La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.

Definición de término general[editar]

Llamaremos término general de una sucesión a x_n^{},donde el subíndice {n\in \mathbb{N}} indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.

Definición de parcial[editar]

Llamaremos parcial de \left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión \left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\in \mathbb{N}} donde n_i <n_{i+1} .

Notación[editar]

Existen diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.

Se puede usar la notación (a_n) para indicar una sucesión, en donde a_n hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.

Ejemplo. Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por (p_n):

(p_n)=2,4,6,8,10,12,...

entonces

p_1 =2, p_2=4, p_3=6, p_4=8,\ldots.

En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior (p_n) puede especificarse mediante la fórmula p_n=2n.

No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.

En la literatura es posible encontrar una gran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:

  • \{ a_n \} =a_1,a_2,a_3,\ldots
  • ( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m
  • \{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots,

Sucesiones numéricas[editar]

Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales sobre otro conjunto numerico, así por ejemplo:


   \begin{matrix}
      a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{N} \\
         & n          & \to & a_n
   \end{matrix}

Una sucesión de N sobre N, como la sucesión de Fibonacci.

Si la sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los números naturales en los números reales, es decir :


   \begin{matrix}
      a: & \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \\
         & n          & \to & a_n
   \end{matrix}

En cualquier caso se denota simplemente como \left\{{a_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también se denota como \left\{{a_n}\right\}_{n \geq 0}.

El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales; así, si la imagen de a_{}^{} fuesen los racionales, es decir fracciones enteras del tipo \scriptstyle \frac{x}{y}, \; y \neq 0, se puede llamar sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ...

Puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o en progresión geométrica, la diferencia básica es que en la sucesión aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misma razón, y en la sucesión geométrica el siguiente número de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio. En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, lo que supone tener una sucesión dentro de otra sucesión.

El término general de la sucesión queda definido de forma implícita si su valor depende de sus predecesores. En general, dados previamente los valores de a_0, \; a_1,\; ... \; ,\; a_n, podemos definir el término general de forma inductiva como a_{i+1} = f(a_{i-n}, \; ... \; , a_i) , \; i \ge n como por ejemplo con la ecuación en recurrencias a_{i+1} = b_0 a_{i-n} + \; ... \; + b_n a_i  + c_n , \; i \ge n, \; b_0, \; ... \; , \; b_n, \; c_n \in \mathbb{R} .

Tipos[editar]

Sucesión finita[editar]

Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente:  a_0, \; a_1, \; a_2, \; ... \; , \; a_i , \; ... \; , \; a_n , donde a_i^{} sería el término general si hiciese falta.
ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0

Sucesión constante[editar]

Se dice que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, k_{}^{}, es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente a_0^{} = k, \; a_1 = k, \; a_2 = k, \; a_3 = k, \; ... \; , \; a_n = k,\;...
ejemplo: si k_{}^{}=1 queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesiones monótonas[editar]

Una sucesión monótona es una sucesión creciente o decreciente:[1]

Sucesión creciente[editar]

Si se impone al término general de una sucesión numérica la condición que a_n^{} < a_{n+1}, es decir, que el siguiente término,  a_{n+1}^{}, siempre sea mayor estricto que su predecesor, a_n^{}, se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ...
Para reales: -2'01, \; -1, \; 0, \; \sqrt{2}, \; e_{}^{}, \; \pi, \; ,\;....

Si se impone a_n^{} \leq a_{n+1}, es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente[editar]

Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

Sucesión alternada[editar]

Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de signo opuesto, como a_n=(-1)^{n} que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... utilizada por las series llamadas series alternadas.

Sucesiones Acotadas[editar]

Se pueden dar tres formas de sucesión acotada:

  • Una sucesión {an} estará acotada superiormente en el caso que exista un número real M que limite de la siguiente forma la secuencia: {an}M.
  • Por otro lado, la sucesión estará acotada inferiormente cuando un número real N la limite de la forma contraria a la anterior: {an}N.
  • Finalmente, en caso de que se den ambas opciones {an} será una sucesión acotada.

Sucesiones Convergentes[editar]

Una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R}, converge a a o tiene por límite a (cuando n \rightarrow \infty), y se escribe,

 \lim_{n} a_n = a

cuando,

 \forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}

Propiedades[editar]

Unicidad del límite de una sucesión[editar]

Si una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} converge, entonces el \lim_{n} a_n es único.

Demostración

Sean a, a' \in \mathbb{R} de forma que,

 \lim_{n} a_n = a,\ \lim_{n} a_n = a'

Entonces se cumplen estos dos asertos,

Primero,

 \forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_1 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_1, n \in \mathbb{N}

Segundo,

 \forall \frac{\epsilon}{2} \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_2 \in \mathbb{N} : |a_n - a'| < \frac{\epsilon}{2}, \forall n \geq n_2, n \in \mathbb{N}

luego para n > n_0, n_0 = \mbox{max}\{n_1, n_2\},

 |a - a'| = |a -a' + a_n - a_n| \leq |a_n - a| + |a_n - a'| <  \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon, \forall \epsilon > 0

Como \epsilon fue elegido de forma arbitraria entonces a = a' \ \ \blacksquare

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente[editar]

Si una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} es convergente, entonces está acotada.

Demostración

Una sucesión \{a_n\}, \ a_n \in \mathbb{R} es convergente cuando,

 \forall \epsilon \in \mathbb{R}, \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N} : |a_n - a| < \epsilon, \forall n \geq n_0, n \in \mathbb{N}

luego en particular, por ejemplo, para \epsilon = 1 (podríamos haber tomado cualquier otro \epsilon > 0) se verifica que,

 |a_n - a| < 1, \forall n \geq n_0

Ahora bien,

 |a_n| = |a_n - a + a| = |(a_n - a) - (-a)| \leq |a_n - a| + |-a| = |a_n - a| + |a| < 1 + |a|

luego hemos concluido que \forall n \geq n_0 se verifica que,

 |a_n| < 1 + |a|

Se debe encontrar un c > 0 de forma que \forall n \in \mathbb{N} sea |a_n| \leq c. Como a partir del índice n_0 se cumple, sumando a 1 + |a| todos los elementos que van por detrás de n_0 hasta el elemento 1 de la sucesión ya tendríamos el c > 0 buscado.

Entonces si,

 c = 1 + |a| + |a_{n_0 - 1}| + |a_{n_0 - 2}| + \cdots + |a_1|

se tiene que,

 |a_n| \leq c, \forall n \in \mathbb{N} \ \ \blacksquare

Extensión a los reales[editar]

Compruébese que \scriptstyle \{ a_n^{}\} =f(n)=f(n)+\sin(n \pi) , ilustrando que dos funciones reales diferentes pueden corresponder a una misma sucesión sobre los enteros.

Dada una función  f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} , llamaremos extensión en los reales de f_{}^{} a una función  P: \mathbb{R} \to \mathbb{R} cuyos valores coinciden en el dominio de f_{}^{}, es decir, f_{ | \mathbb{N}}=P_{ | \mathbb{N}}.

Es incorrecto representar a la extensión en los reales con el mismo nombre ( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ), pues, se trata de una asociación totalmente arbitraria y no unívoca que trae confusión y no tiene sentido para algunas funciones definidas a trozos. Se suele llamar a la extendida por ejemplo  P_{}^{}, \; Q_{}^{}, \; \phi_{}^{} o  \psi_{}^{} si es un polinomio, o g_{}^{} o h_{}^{} si son funciones trigonométricas, agregando subíndices si hace falta.

La función f puede adquirir propiedades de la extendida P, si existe P con dichas propiedades, como límites al infinito, monotonía, acotaciones, entre otras .

Generalización en distintas áreas[editar]

Estos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.

El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga a diversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.

El espacio de sucesiones finitas complejas \mathbb{C}[editar]

Se puede tener una sucesión \left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}} tal que  {a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)} ,0,...)\text{, donde } a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}-\left\{0\right\}

El espacio de sucesiones complejas o ℓ2 \mathbb{C}^n[editar]

Se puede tener una sucesión \left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}} tal que  {V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)})\text{, donde } a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}

El espacio de polinómico K[x][editar]

Un polinomio P(x) \in K[x] no es más que una sucesión finita \left\{{a_n}\right\}_n tal que a_n \in K representada como P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n.

El espacio de las matrices  M_{m \times n}(k)[editar]

Se puede tener una sucesión \left\{{A_i}\right\}_{i \in \mathbb{N}} tal que A_i:= \begin{pmatrix} a_{1,1}^{(i)} & \ldots & a_{1,n}^{(i)} \\ \vdots && \vdots \\ a_{m,1}^{(i)} & \ldots & a_{m,n}^{(i)} \end{pmatrix}, donde a_{j,k}^{(i)} \in K.

En un espacio vectorial topológico[editar]

Se puede tener una sucesión \left\{{V_{i}^{}}\right\}_{i\epsilon\mathbb{N}}, donde  V_n^{}:= \alpha_n B, donde  \alpha_n \in \mathbb{R} es una sucesión real arbitraria y B un abierto.

Sucesiones funcionales[editar]

Se puede tener una sucesión de funciones continuas \left\{{{f(x)}_n}\right\}_{n\epsilon\mathbb{N}}=\sin(x)^n.

En el lenguaje proposicional[editar]

Sea A_{}^{} un alfabeto, llamaremos A_{}^n al conjunto de sucesiones finitas de n elementos de A, se define inductivamente por la sucesión de productos cartesianos siguiente: A^1=A, A^2=A\times A, ... , A^n:=A^{n-1}\times A

  • así {<}a_1,...,a_n>:={<<}a_1,...,a_{n-1}{>},a_n{>}\in A^n {,y\;} a_i:={<}a_i{>}\in A.

En homología simplicial[editar]

El complejo de cadenas simplicial del complejo simplicial K, no es más que una determinada sucesión de grupos abelianos y morfismos.

En el lenguaje de las categorías[editar]

Sea  \mathcal{A} una categoría, podemos tener una sucesión \left\{{A_n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}, donde A_{n}^{} \in Ob({ \mathcal{A} }).

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. A.Bouvier,Diccionario de matemáticas(1979)

Bibliografía[editar]

  • Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684. 

Enlaces externos[editar]