Serie alternada

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En matemáticas, una serie alternada es una serie infinita del tipo

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n,

con an ≥ 0. Una suma finita de este tipo es una suma alternada.

Condiciones de convergencia[editar]

Una condición suficiente para que la serie alternada converja es que sea absolutamente convergente. Pero la misma no es una condición necesaria, ya que existen series que no la satisfacen y aún así son convergentes. Por ejemplo, la serie armónica

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1},

diverge, mientras que su versión alternada

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}

converge al logaritmo natural de 2.

Un test más amplio de convergencia de una serie alternada es el test de Leibniz: si la sucesión a_n es monótona decreciente y tiende a cero, entonces la serie

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n

converge.

Se puede utilizar la suma parcial

s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k a_k

para aproximar la suma de una serie alternada convergente. Si a_n es monótona decreciente y tiende a cero, entonces el error en esta aproximación resulta ser menor que a_{n+1}.

Convergencia condicional[editar]

Una serie condicionalmente convergente es una serie infinita que converge, pero no converge absolutamente. El siguiente resultado anti intuitivo es verdadero: si la serie real

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n

converge condicionalmente, entonces para todo número real \beta existe un reordenamiento \sigma de la serie tal que

\sum_{n=0}^\infty (-1)^{\sigma(n)}\,a_{\sigma(n)}=\beta.

Como un ejemplo de esto, consideremos la serie precedente para el logaritmo natural de 2:

\ln 2=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots.

Una forma posible de reordenar la serie es (los paréntesis en el primer renglón están únicamente para mejorar la comprensión):

1-\frac12-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\left(\frac15-\frac1{10}\right)-\frac1{12}
+\left(\frac17-\frac1{14}\right)-\frac1{16}+\cdots
=\frac12-\frac14+\frac16-\frac18+\frac1{10}-\cdots
=\frac12\left(1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots\right)
=\frac12\,\ln2.

Una demostración de este postulado se basa en que el algoritmo voraz para σ es correcto.

Véase también[editar]

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