Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto $\{ A_i,\, \delta_i\}$ consistente en estructuras algebraicas $A_i$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y $\delta_i$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas (del inglés chain complex) si la construcción

$\ldots \to A_{n+1} \begin{matrix} \delta_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} \delta_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-1} \to \ldots$

satisface $\delta_{n}\circ\delta_{n+1}=0 \,$ . Esta última condición implica $\operatorname{im}\delta_{n+1}\subseteq \ker\delta_n \,$ para toda $n$ . Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Notación [editar]

El símbolo $A_{\bullet}$ se utiliza para designar al par $\{ A_i,\, \delta_i\}$ .

La homología [editar]

A las estructuras cociente

$H_n(A_{\bullet})=\frac{\ker\delta_n}{{\rm im\,}\delta_{n+1}}\,$

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas $A_{\bullet}$

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas [editar]

cadeno-morfismo $f_{\bullet}=\{f_i\}$ .

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos $A_{\bullet}=\{ A_q,\, \delta_q\}$ y $B_{\bullet}=\{ B_q,\, \gamma_q\}$ es un conjunto $f_{\bullet}=\{f_q\}$ de morfismos entre las estructuras algebraicas $A_q\stackrel{f_q}\to B_q$ tales que $f_q\circ \delta_{q+1}=\gamma_{q+1}\circ f_{q+1}$ . Simbólicamente $f_{\bullet}\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos $A_q\stackrel{g_q}\to B_{q-d}$ con la misma propiedad $g_q\circ \delta_{q+1}=\gamma_{q+1}\circ g_{q+1}$

Como categoría [editar]

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico $(X,A)$ una familia de grupos abelianos $\{H_n(X,A)\}$ que formarán una complejo de cadenas $\cdots\to H_i(A)\to H_i(X)\to H_i(X,A)\to H_{i-1}(A)\to\cdots$ y donde un mapeo continuo $f\colon(X,B)\to(Y,B)$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos $f_{\#}\colon H_i(A)\to H_i(B)$ , $f_{\#}\colon H_i(X)\to H_i(Y)$ y $f_{\#}\colon H_i(X,A)\to H_i(Y,B)$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.