Progresión geométrica

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Serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... converge a 2.

Una progresión geométrica es una secuencia en la que el elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, 5, 15, 45, 135, 405,...\, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque cada elemento es el triple del anterior. Se puede obtener el valor de un elemento arbitrario de la secuencia mediante la expresión del término general, siendo a_n\, el término en cuestión, a_1\, el primer término y r, la razón:

a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\,

En el ejemplo anterior, el cuarto elemento de la serie es:

a_4 = 5 \cdot 3^{4-1} = 5 \cdot 3^3 = 135

Ejemplos de progresiones geométricas[editar]

  • La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
  • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
  • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
  • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
  • Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertos autores que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que r \ne 0 en la definición.

Suma de términos de una progresión geométrica[editar]

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar]

Se denomina como Sn a la suma de los n primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

 r \cdot S_n = r \cdot (a_1 + a_2 + ... + a_{n-1} + a_n)
 r \cdot S_n =  r \cdot a_1 + r \cdot a_2 + ... + r \cdot a_{n-1} + r \cdot a_n

puesto que  r \cdot a_i =  a_{i+1}

 r \cdot S_n =  a_2 + a_3 +... + a_n + a_{n+1}

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

r \cdot S_n - S_n =a_{n+1} - a_1

ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente.

Despejando S_n

S_n = \frac{a_{n+1} - a_1}{r - 1} =  \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión an como

S_n = \frac{a_1 \cdot r^n - a_1}{r - 1} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}

que expresa la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios a_m \ y \ a_n (ambos inclusive):

\sum_{k=m}^n a_k = \frac{r \cdot a_n - a_m}{r-1} =
a_1 \cdot \frac{(r^{n+1}-r^m)}{r-1} =
a_m \cdot \frac{(r^{n-m+1}-1)}{r-1}

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica[editar]

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad |r|<1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si |r| < 1 ,  r^\infty tiende hacia 0, de modo que:

S_\infty  = a_1 \cfrac{r^\infty  - 1}{r - 1}=a_1 \cfrac{0 - 1}{r - 1}

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

S_\infty = \cfrac{a_1}{1 - r}

Véase también[editar]

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