Problema del trigo y del tablero de ajedrez

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Chess zhor 26.png
Chess zver 26.png a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8 Chess zver 26.png
a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7
a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6
a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5
a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4
a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2
a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1
Chess zhor 26.png
Un tablero de ajedrez vacío

El denominado problema del trigo y del tablero de ajedrez (a veces se suele estar expresado en términos de granos de arroz), es un problema matemático cuyo enunciado es, palabras más o menos, el siguiente:

“Si se colocase sobre un tablero de ajedrez (lo suficientemente grande) un grano de trigo en el primer casillero, dos en el segundo, cuatro en el tercero y así sucesivamente (doblando la cantidad de granos en cada siguiente casillero), ¿cuántos granos de trigo habría en el tablero al final?”

Generalidades[editar]

El problema puede ser resuelto mediante la realización de una relativamente simple suma, la cual es no obstante engorroso de hacer a mano. Debido a que en un tablero de ajedrez existen 64 (8x8) casilleros y asumiendo que el número de granos se duplica en cada casillero sucesivo, entonces la suma de granos sería 1 + 2 + 4 + 8... y así sucesivamente para cada uno de los 64 casilleros. Una vez hecha la cuenta pertinente, el número total de granos es de:


   18 \; 446 \; 744 \; 073 \; 709 \; 551 \; 615

(un poco más de 18 trillones en la escala numérica larga), lo que es una cifra mucho más alta de lo que la mayoría de la gente esperaría de forma intuitiva.

Este problema puede ser usado para explicar el funcionamiento de los exponentes, además del muy rápido crecimiento que en general caracteriza a las series exponenciales y de las secuencias geométricas.

También se puede usar para explicar la notación matemática de la sigma mayúscula, la cual permite simplificar mediante la utilización del símbolo de la sumatoria la representación de este tipos de largas adiciones.

Cuando es expresada en términos de exponentes, la serie geométrica correspondiente es: 20 + 21 + 22  + 23... y así sucesivamente hasta 263

La base de cada exponenciación, el número natural 2, expresa que la duplicación de cada casillero, mientras que los exponentes representan la posición de cada casillero (cero para el primer casillero, 1 para el segundo, etc.)

Soluciones[editar]

La solución de fuerza bruta consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la sumatoria correspondiente a esa serie aritmética.


   T_{64} =
   1 + 2 + 4 + \cdots + 9,223,372,036,854,775,808

donde T_{64} corresponde al número total de granos.

La serie puede ser expresada como exponentes:


   T_{64} =
   2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \cdots + 2^{63}

y representarse en notación de sumatoria (sigma mayúscula) como:


   T_{64} =
   \sum_{i=0}^{63} 2^i

También puede resolverse de forma mucho más fácil por medio de:


   T_{64} =
   2^{64}- 1

Una prueba de los cual es:


   s =
   2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \cdots + 2^{63}

Multiplicar cada lado por 2:


   2s =
   2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + \cdots + 2^{63} + 2^{64}

Restar o sustraer la serie original de cada lado:


   2s - s =
   - 2^{0} + 2^{64}

resultando:


   s =
   2^{64}- 1
   \quad = \quad
   18\;446\;744\;073\;709\;551\;615

Cuanto trigo es[editar]

Para hacernos una idea de la cantidad de trigo de la que estamos hablando podemos estimar que en un kilogramo de trigo hay aproximadamente 1200 granos de trigo, por lo tanto:


   18\;446\;744\;073\;709\;551\;615 \; granos \mapsto
   15\;372\;286\;728\;091\;293 \; Kg \mapsto
   15\;372\;286\;728\;091 \; Tm

La estimación de producción de trigo para la cosecha 2013-2014 es de:


   \begin{array}{lr}
      \text{Unión Europea}  & 142\;896\;000 \; Tm \\
      \text{China}          & 121\;000\;000 \; Tm \\
      \text{India}          &  92\;460\;000 \; Tm \\
      \text{Estados Unidos} &  57\;536\;000 \; Tm \\
      \text{Rusia}          &  54\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Canadá}         &  31\;500\;000 \; Tm \\
      \text{Australia}      &  25\;500\;000 \; Tm \\
      \text{Pakistán}       &  24\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Ucrania}        &  22\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Turquía}        &  18\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Kazajstán}      &  17\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Irán}           &  14\;500\;000 \; Tm \\
      \text{Argentina}      &  12\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Egipto}         &   8\;800\;000 \; Tm \\
      \text{Marruecos}      &   7\;000\;000 \; Tm \\
      \text{Uzbekistán}     &   6\;700\;000 \; Tm \\
      \text{Otros}          &  53\;999\;000 \; Tm \\
      \hline
      \text{TOTAL}          & 708\;891\;000 \; Tm \\
   \end{array}

Por lo tanto, tomando esta estimación como cosecha anual, debería poner sobre el tablero las cosechas mundiales de:


   \cfrac{15\;372\;286\;728\;091}{708\;891\;000} \cfrac{Tm}{Tm/a\tilde{n}o} =
   21\;684,98 \; a\tilde{n}os

Por lo tanto serian necesarias las cosechas mundiales de más de veintiún mil seiscientos años para sumar esa cantidad de trigo.

Origen e historia[editar]

Las historias acerca de la invención del ajedrez varían. No obstante, todas ellas incorporan exactamente el mismo problema de progresión geométrica.

Y la fábula en cuestión, al margen de las distintas variantes que existen de la misma, siempre gira alrededor de los mismos lineamientos:

Cuando el creador del juego del ajedrez (en algunas historias un antiguo matemático de la India y en otras un drávida vellalar legendario llamado Sessa o Sissa) le mostró su invento el rey de un lejano país de Oriente, éste último estaba tan satisfecho que le dio al inventor el derecho de que él mismo decidiese cuál sería su recompensa por tal creación. El hombre, que era muy sabio, le pidió al rey algo que de buenas a primeras aparentaba ser bastante humilde: que por el primer casillero del tablero de ajedrez, él debía recibir un grano de trigo (o de arroz en algunas variantes del cuento), dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez.

El rey, que no se caracterizaba por saber mucho de aritmética, rápidamente aceptó el pedido realizado por el inventor, incluso ofendiéndose debido a su errada percepción de que lo estaba pidiendo demasiado poco como contrapartida por haber inventado nada menos que el ajedrez, y le ordenó a su tesorero que contase los granos de trigo correspondientes y que se los entregase al inventor. No obstante en otra variante de la historia, el ofendido rey ordena que le entreguen un saco de trigo y que se vaya, sin darse cuenta que la cantidad de granos pedidos son en realidad muchísimo mayor que eso.

Cuando el tesorero se tomó nada menos que más de una semana en realizar el cálculo de los granos de trigo adeudados al creador del ajedrez, el monarca le preguntó acerca de la razón de su tardanza. Fue entonces ahí que el contador real le dio entonces el resultado de su cálculo y le explicó que habría que darle al inventor una cantidad de granos cuyo valor era superior a todos los activos del reino. La historia termina con el súbitamente enriquecido inventor convirtiéndose en el nuevo rey, aunque en otras variantes de la misma el monarca engañado termina ordenando el castigo del inventor.

Aplicaciones pedagógicas[editar]

Este ejercicio puede usarse para introducir algunos importantes conceptos matemáticos tales como los exponentes, la potencia de cero, la sumatoria(la a veces denominada “notación de sigma mayúscula” y las series geométricas. E incluso algunas variaciones del problema pueden ser usadas para explicar algunos temas matemáticos más avanzados, tales como el apretado empacado hexagonal, el cual intenta responde con la mayor precisión posible a la pregunta ¿qué tan grande debería ser un tablero de ajedrez para poder alojar la gran cantidad de arroz que debería alojarse en su último casillero, asumiendo que cada grano del mismo fuese una perfecta esfera de un determinado tamaño? Y en particular sirve como una demostración práctica acerca de lo muy rápido que crecen las series exponenciales.

Segunda mitad del tablero de ajedrez[editar]

Una ilustración del principio.

En lo que respecta a la denominada “estrategia tecnológica” para la resolución de problemas de este tipo, “la segunda mitad del tablero de ajedrez” (en inglés, the second half of the chessboard) es una frase acuñada por Raymond “Ray” Kurzweil[1] , en referencia al punto donde cierto factor de un crecimiento exponencial comienza a tener un significativo impacto económico en toda la estrategia de negocios de una determinada organización.

Mientras que el número de granos de arroz que se va acumulando en la mitad superior del tablero (es decir, en los 32 primeros casilleros) ya de por sí es bastante grande, la cantidad de la segunda mitad es muchísimo mayor (nada menos que 232 o poco más de 4.000 millones de veces más grande).

El número de granos de arroz de la primera mitad tablero de ajedrez es 1 + 2 + 4 + 8... + 2,147,483,648, for a total of 4.294.967.295 (232 − 1) granos de arroz, o de cerca de 100 toneladas métricas de arroz (asumiendo una masa promedio de 25 miligramos para cada grano de arroz).[2] La producción anual de arroz de la India es aproximadamente 1.200.000 veces mayor que esa cantidad.[cita requerida]

El número de granos de arroz de la segunda mitad del tablero de ajedrez sería 232 + 233 + 234 ... + 263, para un total de 264 − 232 granos de arroz (el cuadrado del número de granos acumulados en la primera mitad del tablero sumado a sí mismo).

De hecho, como cada casillero contiene un grano más que el total acumulado en todos los casilleros anteriores, por lo tanto tan sólo el primer casillero de la segunda mitad del tablero contiene una unidad más de los mismos que toda la primera mitad. En otras palabras, ya de por sí el primer casillero de la segunda parte (es decir, el número 33) ya de por sí contendría un grano más que los 32 casilleros de toda la primera mitad combinados.

Y sólo en el casillero número 64 del tablero habría 263 = 9.223.372.036.854.775.808 (poco más de 9 trillones en la denominada escala numérica larga) granos de arroz, o poco más de de dos mil millones de veces que los acumulados es la primera mitad del tablero,

En todo el tablero de ajedrez serían 264 − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 granos de arroz, pesando unas 461.168.602.000 toneladas métricas, lo cual equivaldría a una hipotética gigantesca montaña de arroz más grande que el propio monte Everest, lo que es alrededor de mil veces la producción global de arroz en 2011, la cual equivalió a unas 476 millones de toneladas métricas.[3]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Kurzweil, Raymond (1999). Viking Adult, ed. The Age of Spiritual Machines (“La era de las máquinas espirituales”). ISBN 0-670-88217-8. 
  2. «Rice CRC - Size and Weight (“Tamaño y peso”)». Archivado desde el original el 23 de agosto de 2006. Consultado el 16 de septiembre de 2011.
  3. World rice output in 2011 estimated at 476 mn tonnes: FAO (“Producción mundial de arroz en 2011 estimada en 476 millones de toneladas: FAO”)

Enlaces externos[editar]