Número racional

Diagrama usado en la demostración de que los racionales son numerables (Georg Cantor).

En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien $\mathbb{Q}$, en negrita de pizarra) que deriva de «cociente» (Quotient en varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números enteros ($\mathbb{Z}$), y es un subconjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).

La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito, o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10 (sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o periódica (en cualquier base entera), es un número racional.

Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita no-periódica.

En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia sobre $\mathbb{Z}$.

Construcción formal

Véanse también: Dominio de integridad y Cuerpo de cocientes.

El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede representarse por más de una fracción por ejemplo:

$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional. Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de equivalencia:

Demostración

$\forall \left(a,b\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\forall \left(c,d\right) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\},\ (a,b)\,\mathcal{R}\,(c,d) \Longleftrightarrow ad=bc.$ De esta manera $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}/\mathcal{R}$, es decir que el conjunto de los números racionales es el cociente $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\setminus\left\{0\right\}$ por la relación de equivalencia.

Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:

$\begin{matrix} \mathbb{Q} \subset \mathrm{Frac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\} \\ \mathbb{Q} = \mathrm{IrrFrac}(\mathbb{Z}) = \left\{ \cfrac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},q\in\mathbb{Z};\ q>0\ \land\ \mathrm{mcd}(|p|,q)= 1, \right\} \end{matrix}$

Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:

$\mathbb{Q} = \mathrm{Frac}(\mathbb{Z})/\mathcal{R}$

Aritmética de los números racionales

Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.

Definición de suma y multiplicación en Q

• Se define la suma $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$

• Se define la multiplicación $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Relaciones de equivalencia y orden en Q

• Se define la equivalencia $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ cuando $ad = bc \,$

• Los racionales positivos son todos los $\frac{a}{b}$ tales que $ab > 0 \,$

• Los racionales negativos son todos los $\frac{a}{b}$ tales que $ab < 0 \,$

• Se define el orden $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$ cuando $ad - bc > 0 \,$

Existencia de neutros e inversos

• Para cualquier número racional: $\frac{a}{b}$ se cumple que $\frac{a}{b}+\frac{0}{1}=\frac{a}{b}$ entonces $\frac{0}{1}$ es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por $0$.
• Para cualquier número racional: $\frac{a}{b}$ se cumple que $\frac{a}{b}\times\frac{1}{1}=\frac{a}{b}$ entonces $\frac{1}{1}$ es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por $1$.
• Cada número racional: $\frac{a}{b}$ tiene un inverso aditivo $\frac{-a}{b}$ tal que $\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=0$
• Cada número racional: $\frac{a}{b}$ con excepción de $0$ tiene un inverso multiplicativo $\frac{b}{a}$ tal que $\frac{a}{b}\times\frac{b}{a}=1$

Equivalencias notables en Q

• Todo número entero $p \,$ se puede escribir como fracción $\frac{p}{1}$
• $\frac{ca}{cb}=\frac{a}{b}$ con $c\neq 0$ y $b\neq 0$
• $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$
• $\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}=-\frac{a}{b}$
• $\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=0$ con $a\neq 0$ y $b\neq 0$
• $\frac{a}{a}=\frac{b}{b}=1$ con $a\neq 0$ y $b\neq 0$.

Propiedades

• El conjunto $\Q$, con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros $\Z$.

• Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.

• La clausura algebraica de $\Q$, es el conjunto de los números algebraicos.

• El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre $\N$ y $\Q$ (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).

• Propiedad arquimediana: el conjunto $\Q$ es denso en $\R$ por construcción misma de $\R$; es decir, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos.

• Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional puede descomponerse en la forma: $q = u p_1^{\alpha_1}\dots p_n^{\alpha_n}$ donde $p_i\in \mathbb{N}$ son números enteros primos, $\alpha_i\in \mathbb{Z}$ (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y $u\in\{1,-1\}$. Por ejemplo $260/693= 2^2 3^{-2}5^1 7^{-1}11^{-1}13^1\,$.

Escritura decimal

Representación racional de los números decimales

Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede expresarse como número racional de la siguiente manera:

• Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
  • Ejemplo: $34,65 = \frac{3465}{100}$
• Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.
  • Ejemplo: $15,3434\dots=\frac{1534-15}{99}$
• Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre $a$ y $b$, donde $a$ es el número escrito sin la coma, y $b$ es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo.
  • Ejemplo: Sea el número $12,345676767\dots$ entonces $a=1234567 \,$ y $b=12345 \,$, por lo que la fracción correspondiente será ${1234567-12345}\over{99000}$, es decir: ${1222222}\over{99000}$.

Desarrollo decimal de los números racionales

El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:

• Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
• Ejemplo:

$\frac 8 5 = 1,6$

• Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\cfrac 1 7&=&0,142857142857\dots\\&=&0,\overline{142857}\end{array}$

• Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:

$\begin{array}{rcl}\cfrac 1 {60}&=&0,01666\dots\\&=&0,01\overline{6}\end{array}$

Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en bases distintas de diez.

Número racional en otras bases

En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos que factorizan la base, no tienen representación finita.

• Ejemplos:
  • En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2ⁿ·5^p (n y p enteros).
  • En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.

Propiedades topológicas de los números racionales

• Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca.
• Poseen una expansión finita como fracción continua regular.
• Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|.
• Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto.
• Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizable numerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.

Número p-ádico

Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|_p = p^−n, donde pⁿ es la mayor potencia de p que divide a a.

Si |0|_p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|_p = |a|_p / |b|_p, entonces la función multiplicativa $d_p\left(x, y\right) = |x - y|_p$ define una métrica sobre $\Q$.

El espacio métrico $\left(\Q,d_p\right)$ no es completo, su completitud es el cuerpo de los números p-ádicos $\Q_p$. El teorema de Ostrowski asegura que todo valor absoluto no-trivial sobre $\Q$ es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al valor absoluto p-ádico.

Véase también

Clasificación de números Complejos $\mathbb{C}$ Reales $\mathbb{R}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Naturales $\mathbb{N}$ 1: uno Naturales primos Naturales compuestos 0: Cero Enteros negativos Fraccionarios Fracción propia Fracción impropia Irracionales Irracionales algebraicos Trascendentes Imaginarios

Bibliografía

• Cárdenas, Raggi (1990). Álgebra Superior. México D.F.: Trillas. ISBN 968-24-3783-0. OCLC 7121505. 
• Z.I. Borevich, I.R. Shafarevich; C. Pisot, M. Zamansky (2001), «Rational Number», en Hazewinkel, Michiel (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weisstein, Eric W. «RationalNumber» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.

Enlaces externos

• Números Racionales Definición, propiedades y operaciones de números racionales, junto con ejemplos

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