Teorema de Ostrowski

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El teorema de Ostrowski, debido a Alexander Ostrowski, establece que cualquier valor absoluto no trivial sobre los números racionales Q es equivalente bien al valor absoluto real usual o a un valor absoluto p-ádico.

Dos valores absolutos | | y | |* sobre un cuerpo C se dice que son equivalentes si existe un número real i>0 tal que

|x|^{*} = |x|^{i} \mbox{ para todo } x \in C.

Se define el valor absoluto trivial sobre cualquier cuerpo C como

|x|_0 = \begin{cases} 0, & \mbox{si }  x = 0  \\ 1,  & \mbox{si } x \ne 0. \end{cases}

El valor absoluto real sobre Q es el valor absoluto normal sobre los números reales, y se define como

|x|_{\infty} = \begin{cases} x, & \mbox{si }  x \ge 0  \\ -x,  & \mbox{si } x <0. \end{cases}

Para un número primo p, se define el valor absoluto p-ádico sobre Q como sigue: cualquier número racional x distinto de cero se puede expresar de forma única como x=p^{n} \frac{a}{b}, siendo a, b y p coprimos dos a dos y n entero (positivo, negativo o 0). Entonces

|x|_p = \begin{cases} 0, & \mbox{si }  x = 0  \\ p^{-n},  & \mbox{si }  x \ne 0. \end{cases}

Otros teoremas de Ostrowski[editar]

Otro teorema establece que un cuerpo arbitrario completo respecto del valor absoluto arquimediano es (algebraica y topológicamente) isomorfo a bien los números reales o bien los números complejos. Este teorema también se conoce como teorema de Ostrowski.

Temas relacionados[editar]

Referencias[editar]

  • Gerald J. Janusz (1996, 1997). Algebraic Number Fields (2ª edición). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4. 
  • Nathan Jacobson (1989). Basic algebra II (2ª edición). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.