Conjunto denso

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Sea (X,\mathcal{T}) un espacio topológico, A \subset X se dice que es un conjunto denso en X\; si y solamente si \bar A = X \;, es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio.

Se cumple que las siguientes proposiciones para A son todas equivalentes:

  1. A es denso en X
  2. A \subset B, B cerrado \Rightarrow B=X
  3. \forall V \in \mathcal{T}, A\cap V = \varnothing \Rightarrow V=\varnothing

Otras proposiciones[editar]

  1. D1 y D2 son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección.
  2. Sean D1 , D2 subconjuntos densos de X , además D1 o D2 es abierto, entonces D1∩D2 es denso [1]

Ejemplos[editar]

  • Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
  • \mathbb{Q} e \mathbb{I} son subconjuntos densos en \mathbb{R}.
  • Los polinomios son densos en el conjunto C[a,b] de las funciones continuas definidas en [a,b], dotado de la topología asociada a la distancia d_\infty (f,g) = \max _{x \in [a,b]} |f(x) - g(x)|.

Espacio separable[editar]

Si (X,\mathcal{T}) contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son \mathbb{R}^n y C([0,1],\mathbb{R}) (el espacio de las funciones continuas que van de [0,1] a \mathbb{R}).

Referencias[editar]

  1. Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de la topología general ISBN 84-78-29-006-0

Véase también[editar]