Divisibilidad

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En matemáticas, básicamente en Aritmética, se dice que un número entero b es divisible entre un entero a (distinto de cero) si existe un entero c tal que: b = a · c. Esto es equivalente a decir, que b es «exactamente divisible» por a, o bien, que el resto de la división euclídea es cero.

Se suele expresar de la forma a|b, que se lee: «a divide a b», o «a es un divisor de b» o también «b es múltiplo de a», finalmente que b es factor de a, b submúltiplo de a.[1] Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero 6 no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c, es decir que el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero.

Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo. Los números mayores que 1 que no admiten más que estos dos divisores se denominan números primos. Los que admiten más de dos divisores se llaman números compuestos.

Factor propio[editar]

Se denomina factor o divisor propio de un número entero n, a otro número también entero que es divisor de n, pero diferente de n.

Por ejemplo, los divisores propios de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14.

Casos especiales: 1 y -1 son factores triviales de todos los enteros, y cada entero es divisor de 0. Los números divisibles por 2 son llamados pares y los que no lo son se llaman impares.

Propiedades[editar]

Sean a, b, c \in \mathbb{Z}, es decir \ a, \ b y \ c son números enteros. Tenemos las propiedades básicas:

  • a\mid a (Propiedad Reflexiva).
  • Si a\mid b y b\mid c, entonces a\mid c (Propiedad Transitiva).
  • Si a\mid b y b \neq 0, entonces |a|\leq |b|.
  • Si a\mid b y a\mid c, entonces a\mid \beta b+ \gamma c\ \ \forall \ \beta, \gamma \in  \mathbb{Z}.
  • Si a\mid b y a\mid b \pm\ c, entonces a\mid c
  • Si a\mid b y b\mid a, entonces \ |a|=|b|.
  • Si a\mid b y a\neq 0, entonces \frac{b}{a}\mid b.
  • Para c\neq 0, a\mid b si y sólo si ac\mid bc
  • Si a\mid bc y \ \operatorname{mcd}(a,b)=1, entonces a\mid c.
  • Si \ \operatorname{mcd}(a,b)=1 y \ c cumple que a\mid c y b\mid c, entonces ab\mid c.
  • n \mid 0 y 1 \mid n para todo \ n entero ya que 0=0\cdot n y n=n\cdot 1.

Si \ m no es divisible por \ n escribimos n\nmid m. Notemos que 0\nmid m para todo \ m distinto de cero, pues m\neq 0=k\cdot 0 para todo \ k entero.

  • El 1 es el único entero que tiene un solo divisor positivo.
  • Si d es un divisor de a y no admite más divisor propio que la unidad, de llama divisor primo de a. De hecho es un número primo.
  • Si m divide a2, no necesariamente divide a a;[2] 9 divide 62, pero no divie a 6.
  • k primo divide a2 + n2, si sólo si k divide a a y divide a n
  • La diferencia de cuadrados de dos números de la misma paridad es múltiplo de 4.
  • El criterio de divisibilidad está ligado al sistema de numeración y a su base; por ejemplo el número 495 (base 10) en la base 6 se escribe 2143, que será divisible por 5, porque la suma de sus cifras es 5[3]

Criterios de divisibilidad[editar]

Los siguientes criterios nos permiten averiguar si un número es divisible por otro de una forma sencilla, sin necesidad de realizar la división.

Número Criterio Ejemplo
2 El número termina en una cifra par (0, 2, 4, 6, 8). 378: porque la última cifra (8) es par.
3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4 El número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o cuando termina en doble cero. O bien, si el resultado de sumar el doble del penúltimo dígito y el primero da un número divisible por 4. 7324: porque 24 es múltiplo de 4.

8200: porque termina en 00.

5232: porque 3*2+2=8 y 8 es múltiplo de 4.

5 La última cifra es 0 o 5. 485: porque termina en 5.
6 El número es divisible por 2 y por 3 a la vez. 18: es múltiplo de 2 y de 3 a la vez.
7 Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 7. 34349: separamos el 9,y lo doblamos (18), entonces 3434-18=3416. Repetimos el proceso separando el 6 (341'6) y doblándolo (12), entonces 341-12=329, y de nuevo, 32'9, 9*2=18, entonces 32-18=14; por lo tanto, 34349 es divisible entre 7 porque 14 es múltiplo de 7.
8 El número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8 o termina en tres ceros. 27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10 La última cifra es 0. 470: termina en cifra 0.
11 Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. Si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste.

Si el número tiene sólo dos cifras y estas son iguales será múltiplo de 11.

42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 42702 es múltiplo de 11

66: porque las dos cifras son iguales. Entonces 66 es Múltiplo de 11

12 El número es divisible por 3 y 4. 420: es múltiplo de 3 ya que 4+2+0=6 y de 4 puesto que 20 también lo es. Por tanto es múltiplo de 12.
13 Un número es divisible entre 13 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 9 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 13 3822: separamos el último dos (382'2) y lo multiplicamos por 9, 2*9=18, entonces 382-18=364. Repetimos el proceso separando el 4 (36'4) y multiplicándolo por 9, 4*9=36, entonces 36-36=0; por lo tanto, 3822 es divisible entre 13
14 Un número es divisible entre 14 cuando es par y divisible entre 7 546: separamos el último seis (54'6) y lo doblamos, 6*2=12, entonces 54-12=42. 42 es múltiplo de 7 y 546 es par; por lo tanto, 546 es divisible entre 14
15 Un número es divisible entre 15 cuando es divisible entre 3 y 5 225: termina en 5 y la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por lo tanto, 225 es divisible entre 15
17 Un número es divisible entre 17 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 5 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 17 2142: porque 214'2, 2*5=10, entonces 214-10=204, de nuevo, 20'4, 4*5=20, entonces 20-20=0; por lo tanto, 2142 es divisible entre 17.
18 Un número es divisible por 18 si es par y divisible por 9 (Si es par y además la suma de sus cifras es múltiplo de 9) 9702: Es par y la suma de sus cifras: 9+7+0+2=18 que también es divisible entre 9. Y efectivamente, si hacemos la división entre 18, obtendremos que el resto es 0 y el cociente 539.
19 Un número es divisible por 19 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 2 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 19. 3401: separamos el 1,lo doblamos (2) y sumamos 340+2= 342, ahora separamos el 2, lo doblamos (4) y sumamos 34+4=38 que es múltiplo de 19, luego 3401 también lo es.
20 Un número es divisible entre 20 si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 20 57860: Sus 2 últimas cifras son 60 (Que es divisible entre 20), por lo tanto 57860 es divisible entre 20.
29 Un número es divisible por 29 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y sumar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 29. 2262: separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos, 226+6= 232, ahora separamos el último 2, lo triplicamos (6) y sumamos 23+6=29 que es múltiplo de 29, luego 2262 también lo es.
31 Un número es divisible por 31 si al separar la cifra de las unidades, multiplicarla por 3 y restar a las cifras restantes el resultado es múltiplo de 31. 8618: separamos el 8, lo triplicamos (24) y restamos 861-24=837, ahora separamos el 7, lo triplicamos (21) y restamos, 83-21=62 que es múltiplo de 31, luego 8618 también lo es.

Nota 1: Existen muchas versiones de los criterios de divisibilidad. Así por ejemplo, para el 13 resulta equivalente el criterio: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 4 y sumarla a las cifras restantes la suma es igual a 0 o es un múltiplo de 13.

Nota 2: Resulta curioso que el criterio de divisibilidad por 7 sirva también como criterio de divisibilidad por 3, aunque evidentemente el criterio tradicional resulta más sencillo y éste no se utiliza: al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2 y restarla de las cifras restantes la diferencia es igual a 0 o es un múltiplo de 3.

Nota 3: Aunque existen criterios similares para cualquier número primo, con frecuencia resulta más sencillo dividir que aplicar un criterio complicado (como el del 13). Sin embargo existe un criterio general que funciona siempre y que en muchos casos es suficientemente práctico: restar el número primo (o múltiplos de éste) a las cifras de la izquierda sucesivamente hasta obtener cero o ese número primo. Así el ejemplo del 13 se podría comprobar con el proceso siguiente (usamos el 39 =3*13 para abreviar pasos): 3822 (restamos 13 dos veces a la izquierda) → 2522 → 1222 (restamos 39 tres veces de las tres cifras de la izquierda) → 832 → 442 → 52 y al restar de nuevo 39 obtenemos 52-39 =13

Nota 4: El método no tiene que ceñirse sólo al proceso de quitar las unidades. Pueden quitarse unidades y decenas. Así por ejemplo: 201 es múltiplo de 67. Un criterio para el 67 sería: quitamos el número formado por las decenas y unidades y se lo restamos 2 veces a las cifras que quedan, si el resultado es múltiplo de 67, el número anterior también lo será. Ejemplo: 66129, hacemos 661-2·29=603, Ahora 6 -2·3=0, luego 66129 es múltiplo de 67.

Una prueba de esto es la siguiente: (N-d)/100-2d = (N-d-200d)/100 = (N - 201d)/100= k. Si k es múltiplo de 67, N también lo será puesto que N = 100k+201d.

Nota 5: Para saber si un número de 3 cifras es múltiplo de 8. Hay que tener en cuenta lo siguiente: Si la cifra de las centenas es par y las otras 2 es un múltiplo de 8 (288→ 2 es cifra par, y 88 múltiplo de 8) o si la cifra de las centenas es impar y las dos últimas son el resultado de la diferencia o suma de un múltiplo de 8 con 4 (168→ 1 es cifra impar y 68+4=72; 72 es múltiplo de 8.

Observación[editar]

Todos los criterios señalados funcionan si el número está escrito en el sistema de numeración decimal. En otra base no siempre ocurre así. Pues 1027, escrito en base 7, termina en cifra par, pero no es divisible por 2. En este caso se suman las cifras 1+2=3; 3=1 (Mód 2), luego 1027 es impar (en decimal es 72+2=51).

Otros contextos[editar]

La divisibilidad es posible tratar dentro de la propiedades aritméticas de los

  • Enteros gaussianos[4]
  • Enteros algebraicos[5]
  • Polinomios en una indeterminada con coeficientes enteros
  • Números enteros pares
  • Números de Fibonacci
  • Anillos cuadráticos[6]

Divisor propio[editar]

Un divisor propio de un número n es cualquier divisor que no es el mismo número que el que divide.

Por ejemplo, los divisores propios de 12 son 2, 3, 4, 6 y sus opuestos, mientras que los divisores 1, 12 y sus opuestos (puesto que 12 divide a 12) son denominados impropios.

Cuando se toman en cuenta enteros negativos, un divisor propio es aquel cuyo valor absoluto es menor al número dado. En este caso, los divisores propios serían -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. G. M. Bruño: Aritmética razonada
  2. Bruño: ibídem
  3. Sidki: Introduçao à teoria dos numeros
  4. Hefez: Álgebra I, ediciones Imca, Lima
  5. Niven Zuckerman: Introducción a la teoría de números
  6. Fraleigh: Álgebra abstracta

Bibliografía[editar]

  • Aritmética elemental de Enzo R. Gentile (1985) OEA.
  • Teoría de los números de Burton W. Jones.
  • Fundamentos de la teoría de números de Iván Vinográdov
  • Introducción a la teoría de los números de Niven y Zuckermann
  • Aritmética [I] de L.Galdós (2002), Cultural S.A. Madrid.