Divisor unitario

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

En matemática, un número natural a es un divisor unitario de un número b si a es un divisor de b y si a y \tfrac{b}{a} son coprimos, no teniendo un factor común diferente de 1. Así, 5 es un divisor unitario de 60, puesto que 5 y \tfrac{60}{5}=12 tienen únicamente 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor, pero no un divisor unitario de 60, dado que 6 y \tfrac{60}{6}=10 tienen un factor común distinto de 1, que es 2. 1 es un divisor unitario de cualquier número natural.

Equivalentemente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si todo factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a como esta la tiene en b.

La función suma de divisores unitarios se denota mediante la letra minúscula griega sigma, así: σ*(n). La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ*k(n):

\sigma_k^*(n) = \sum_{d\mid n \atop \operatorname{mcd}(d,n/d)=1} \!\! d^k.

Si los divisores unitarios propios de un número dado se suman todos ellos, entonces dicho número se conoce como número perfecto unitario.

Propiedades[editar]

El número de divisores unitarios de un número n es 2k, donde k es el número de factores primos distintos de n. La suma de divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluyendo 1), y par de cualquier otra forma.

Ambas, cantidad y suma de divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s-k)} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^*(n)}{n^s}.

Divisores unitarios impares[editar]

La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios impares es

\sigma_k^{(o)*}(n) = \sum_{{d\mid n \atop d\equiv 1 \pmod 2} \atop \operatorname{mcd}(d,n/d)=1} \!\! d^k.

Esta también es multiplicativa, con una función generadora de Dirichlet

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta(2s-k)(1-2^{k-2s})} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^{(o)*}(n)}{n^s}.

Divisores bi-unitarios[editar]

Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el máximo común divisor de d y n/d es 1. El número de divisores bi-unitarios de n es una función multiplicativa de n con orden medio A \log x, donde[1]

A = \prod_p\left({1 - \frac{p-1}{p^2(p+1)} }\right) \ .

Un número perfecto bi-unitario es aquel igual a la suma de sus divisores propios bi-unitarios. Los únicos números así son 6, 60 y 90.[2]

Referencias[editar]

  1. Ivić (1985) p.395
  2. Sandor et al (2006) p.115
  • Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. p. 84. ISBN 0-387-20860-7.  Section B3.
  • Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. p. 352. ISBN 0-387-98911-0. 
  • Cohen, Eckford (1959). «A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion». Pacific J. Math. 9 (1). pp. 13—23. MR 0109806. 
  • Cohen, Eckford (1960). «Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer». Mathematische Zeitschrift 74. pp. 66—80. doi:10.1007/BF01180473. MR 0112861. 
  • Cohen, Eckford (1960). «The number of unitary divisors of an integer». American mathematical monthly 67 (9). pp. 879—880. MR 0122790. 
  • Cohen, Graeme L. (1990). «On an integers' infinitary divisors». Math. Comp. 54 (189). pp. 395—411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. MR 0993927. 
  • Cohen, Graeme L. (1993). «Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer». Intl. J. Math. Math. Sci. 16 (2). pp. 373—383. doi:10.1155/S0161171293000456. 
  • «Unitarism and Infinitarism» (2004).
  • Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. p. 395. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026. 
  • Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. 2006. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300.  Parámetro desconocido |editor1-nombre= ignorado (se sugiere |nombre-editor1=) (ayuda); Parámetro desconocido |editor3-nombre= ignorado (se sugiere |nombre-editor3=) (ayuda); Parámetro desconocido |editor2-apellidos= ignorado (se sugiere |apellidos-editor2=) (ayuda); Parámetro desconocido |editor3-apellidos= ignorado (se sugiere |apellidos-editor3=) (ayuda); Parámetro desconocido |editor2-nombre= ignorado (se sugiere |nombre-editor2=) (ayuda); Parámetro desconocido |editor1-apellidos= ignorado (se sugiere |apellidos-editor1=) (ayuda)

Enlaces externos[editar]

Sucesiones OEIS[editar]

A034444 es σ0(n)   A034448 es σ1(n)   A034676 a A034682 son σ2(n) a σ8(n)   A068068 es σ(o)*0(n)   A192066 es σ(o)*1(n)