Divisor unitario

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En matemática, un número natural a es un divisor unitario de un número b si a es un divisor de b y si a y \tfrac{b}{a} son coprimos, no teniendo un factor común diferente de 1. Así, 5 es un divisor unitario de 60, puesto que 5 y \tfrac{60}{5}=12 tienen únicamente 1 como factor común, mientras que 6 es un divisor, pero no un divisor unitario de 60, dado que 6 y \tfrac{60}{6}=10 tienen un factor común distinto de 1, que es 2. 1 es un divisor unitario de cualquier número natural.

Equivalentemente, un divisor a de b es un divisor unitario si y solo si todo factor primo de a tiene la misma multiplicidad en a como esta la tiene en b.

La función suma de divisores unitarios se denota mediante la letra minúscula griega sigma, así: σ*(n). La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios se denota por σ*k(n):

\sigma_k^*(n) = \sum_{d\mid n \atop \operatorname{mcd}(d,n/d)=1} \!\! d^k.

Si los divisores unitarios propios de un número dado se suman todos ellos, entonces dicho número se conoce como número perfecto unitario.

Propiedades[editar]

El número de divisores unitarios de un número n es 2k, donde k es el número de factores primos distintos de n. La suma de divisores unitarios de n es impar si n es una potencia de 2 (incluyendo 1), y par de cualquier otra forma.

Ambas, cantidad y suma de divisores unitarios de n son funciones multiplicativas de n que no son completamente multiplicativas. La función generadora de Dirichlet es

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s-k)} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^*(n)}{n^s}.

Divisores unitarios impares[editar]

La suma de las k-ésimas potencias de los divisores unitarios impares es

\sigma_k^{(o)*}(n) = \sum_{{d\mid n \atop d\equiv 1 \pmod 2} \atop \operatorname{mcd}(d,n/d)=1} \!\! d^k.

Esta también es multiplicativa, con una función generadora de Dirichlet

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta(2s-k)(1-2^{k-2s})} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^{(o)*}(n)}{n^s}.

Divisores bi-unitarios[editar]

Un divisor d de n es un divisor bi-unitario si el máximo común divisor de d y n/d es 1. El número de divisores bi-unitarios de n es una función multiplicativa de n con orden medio A \log x, donde[1]

A = \prod_p\left({1 - \frac{p-1}{p^2(p+1)} }\right) \ .

Un número perfecto bi-unitario es aquel igual a la suma de sus divisores propios bi-unitarios. Los únicos números así son 6, 60 y 90.[2]

Referencias[editar]

  1. Ivić (1985) p.395
  2. Sandor et al (2006) p.115

Enlaces externos[editar]

Sucesiones OEIS[editar]

A034444 es σ0(n)   A034448 es σ1(n)   A034676 a A034682 son σ2(n) a σ8(n)   A068068 es σ(o)*0(n)   A192066 es σ(o)*1(n)